source
stringclasses 1
value | problem
stringlengths 16
340
| solution
stringlengths 20
3k
|
|---|---|---|
NCTB
|
1.532 রেডিয়ানকে ডিগ্রিতে প্রকাশ কর।
|
প্রদত্ত কোণ = 1.532 রেডিয়ান = (1.532 \times \frac{180}{\pi})^\circ \text{ [}\because 1 \text{ রেডিয়ান } = \frac{180}{\pi} \text{]} = 87.78^\circ \text{ (প্রায়)} \boxed{87.78^\circ \text{ (প্রায়)}}
|
NCTB
|
tan\theta = -\sqrt{3} হলে, \theta এর মান নির্ণয় করো; যেখানে, 0<\theta<\pi
|
দেওয়া আছে, tan\theta = -\sqrt{3} বা, tan\theta = -tan(\frac{\pi}{3}) বা, tan\theta = tan(\pi - \frac{\pi}{3}) বা, tan\theta = tan(\frac{2\pi}{3}) \therefore \theta = \frac{2\pi}{3} \boxed{\frac{2\pi}{3}}
|
NCTB
|
35^\circ 29'37'' কে রেডিয়ানে প্রকাশ কর।
|
35^\circ 29'37'' = (35 + \frac{29}{60} + \frac{37}{60 \times 60})^\circ = (35 + \frac{1777}{3600})^\circ = (\frac{127777}{3600})^\circ = \frac{127777}{3600} \times \frac{\pi}{180} \text{ রেডিয়ান } \because 1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ রেডিয়ান } = 0.6195 \text{ রেডিয়ান (প্রায়)} \boxed{0.6195 \text{ রেডিয়ান (প্রায়)}}
|
NCTB
|
cot\theta = 1 হলে, sin^2\theta এর মান নির্ণয় কর। যেখানে 0<\theta<\frac{\pi}{2}
|
দেওয়া আছে, cot\theta = 1 বা, cot\theta = cot45^\circ \therefore \theta = 45^\circ \therefore sin^2\theta = (sin45^\circ)^2 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2} \boxed{\frac{1}{2}}
|
NCTB
|
নিচে একটি গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেওয়া হলো:
| শ্রেণি ব্যপ্তি | 21-30 | 31-40 | 41-50 | 51-60 | 61-70 | 71-80 | 81-90 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| গণসংখ্যা | 5 | 8 | 10 | 16 | 8 | 7 | 6 |
সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় কর।
|
সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ের সারণি:
| শ্রেণি ব্যপ্তি | মধ্যমান, $x_i$ | গণসংখ্যা, $f_i$ | ধাপ বিচ্যুতি, $u_i = \frac{x_i - a}{h}$ | গণসংখ্যা × ধাপ বিচ্যুতি $(f_iu_i)$ |
|---|---|---|---|---|
| 21-30 | 25.5 | 5 | -3 | -15 |
| 31-40 | 35.5 | 8 | -2 | -16 |
| 41-50 | 45.5 | 10 | -1 | -10 |
| 51-60 | 55.5 | 16 | 0 | 0 |
| 61-70 | 65.5 | 8 | 1 | 8 |
| 71-80 | 75.5 | 7 | 2 | 14 |
| 81-90 | 85.5 | 6 | 3 | 18 |
| মোট | | n=60 | | $\sum f_iu_i = -1$ |
$\therefore$ গড়, $\bar{x} = a + \frac{\sum f_iu_i}{n} \times h = 55.5 + \frac{-1}{60} \times 10 = 55.33$ (প্রায়)।
\boxed{55.33} (প্রায়)।
|
NCTB
|
৯ম শ্রেণির 60 জন শিক্ষার্থীর ওজনের গণসংখ্যা সারণি দেওয়া হলো:
| ওজন (কেজি) | 41-45 | 46-50 | 51-55 | 56-60 | 61-65 | 66-70 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| শিক্ষার্থীর সংখ্যা | 4 | 6 | 12 | 20 | 15 | 3 |
মধ্যক নির্ণয় কর।
|
মধ্যক নির্ণয়ের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি:
| ওজন (কেজি) | গণসংখ্যা | ক্রমযোজিত গণসংখ্যা |
|---|---|---|
| 41-45 | 4 | 4 |
| 46-50 | 6 | 10 |
| 51-55 | 12 | 22 |
| 56-60 | 20 | 42 |
| 61-65 | 15 | 57 |
| 66-70 | 3 | 60 |
| | n=60 | |
এখানে, $n = 60$ এবং $\frac{n}{2} = \frac{60}{2} = 30$
$\therefore$ মধ্যক হলো 30 তম পদের মান। 30 তম পদের অবস্থান হলো (56-60) শ্রেণিতে। অতএব, মধ্যক শ্রেণি হলো (56-60)।
সুতরাং, $L = 56$, $F_c = 22$, $f_m = 20$ এবং $h = 5$
$\therefore$ মধ্যক = $L + \left( \frac{n}{2} - F_c \right) \times \frac{h}{f_m} = 56 + (30-22) \times \frac{5}{20} = 56 + 8 \times \frac{1}{4} = 56 + 2 = 58$ কেজি।
\boxed{58} কেজি।
|
NCTB
|
60 জন মানুষের বয়সের গণসংখ্যা সারণি নিম্নরূপ:
| বয়সের শ্রেণি (বছর) | 10-19 | 20-29 | 30-39 | 40-49 | 50-59 |
|---|---|---|---|---|---|
| গণসংখ্যা | 10 | 14 | 18 | 11 | 7 |
প্রদত্ত উপাত্তের মধ্যক নির্ণয় কর।
|
মধ্যক নির্ণয়ের সারণি:
| শ্রেণি ব্যাপ্তি | গণসংখ্যা | ক্রমযোজিত গণসংখ্যা |
|---|---|---|
| 10-19 | 10 | 10 |
| 20-29 | 14 | 24 |
| 30-39 | 18 | 42 |
| 40-49 | 11 | 53 |
| 50-59 | 7 | 60 |
| | n = 60 | |
এখানে, $n = 60$ এবং $\frac{n}{2} = \frac{60}{2} = 30$
অতএব, মধ্যক 30 তম পদের মান যার অবস্থান (30-39) শ্রেণিতে। অতএব, মধ্যক শ্রেণি (30-39)।
এখানে, $L = 30$, $F_c = 24$, $f_m = 18$, $h = 10$
সুতরাং, মধ্যক = $L + \left( \frac{n}{2} - F_c \right) \times \frac{h}{f_m} = 30 + (30-24) \times \frac{10}{18} = 30 + \frac{60}{18} = 33.33$ বছর (প্রায়)।
\boxed{33.33} বছর (প্রায়)।
|
NCTB
|
দশম শ্রেণির 40 জন শিক্ষার্থীর গণিতে প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি নিচে দেওয়া হলো:
| শ্রেণি ব্যাপ্তি | 55-59 | 60-64 | 65-69 | 70-74 | 75-79 | 80-84 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| গণসংখ্যা | 4 | 8 | 13 | 10 | 2 | 3 |
সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় কর।
|
সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ের সারণি:
| শ্রেণি ব্যাপ্তি | শ্রেণি মধ্যমান $x_i$ | গণসংখ্যা $f_i$ | ধাপ বিচ্যুতি $u_i = \frac{x_i - a}{h}$ | $f_iu_i$ |
|---|---|---|---|---|
| 55-59 | 57 | 4 | -2 | -8 |
| 60-64 | 62 | 8 | -1 | -8 |
| 65-69 | 67 | 13 | 0 | 0 |
| 70-74 | 72 | 10 | 1 | 10 |
| 75-79 | 77 | 2 | 2 | 4 |
| 80-84 | 82 | 3 | 3 | 9 |
| | | n = 40 | | $\sum f_iu_i = 7$|
$\therefore$ গড়, $\bar{x} = a + \frac{\sum f_iu_i}{n} \times h = 67 + \frac{7}{40} \times 5 = 67.875$
\boxed{67.875}।
|
NCTB
|
দশম শ্রেণির 50 জন শিক্ষার্থীর ওজনের গণসংখ্যা সারণি নিচে দেওয়া হলো:
| ওজন (কেজি) | 31-40 | 41-50 | 51-60 | 61-70 | 71-80 | 81-90 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| শিক্ষার্থীর সংখ্যা | 6 | 8 | 13 | 10 | 8 | 5 |
প্রদত্ত উপাত্তের প্রচুরক নির্ণয় কর।
|
প্রদত্ত গণসংখ্যা নিবেশন সারণিতে গণসংখ্যা সর্বাধিক 13 আছে (51-60) শ্রেণিতে। ... প্রচুরক শ্রেণি (51-60)
সুতরাং, $L = 51$, $f_1 = 13 - 8 = 5$, $f_2 = 13 - 10 = 3$ এবং $h = 10$
$\therefore$ প্রচুরক = $L + \frac{f_1}{f_1 + f_2} \times h = 51 + \frac{5}{5+3} \times 10 = 51 + \frac{50}{8} = 51+6.25 = 57.25$
\boxed{57.25}।
|
NCTB
|
বিন্যস্ত ও অবিন্যস্ত দুইটি উপাত্তের ক্ষেত্রে পরিসরের মধ্যে পার্থক্য লিখ।
|
বিন্যস্ত ও অবিন্যস্ত উপাত্তের ক্ষেত্রে পরিসর নির্ণয়ের সূত্রে পার্থক্য বিদ্যমান যা হলো-
(i) অবিন্যস্ত বা অশ্রেণিকৃত উপাত্তের ক্ষেত্রে:
কোনো চলক $x$ এর $n$ সংখ্যক মান যথাক্রমে $x_1, x_2, x_3,........, x_n$ যাদের মধ্যে ক্ষুদ্রতম মান $x_L$ এবং বৃহত্তম মান $x_H$ হলে পরিসর, $R = x_H - x_L$
(ii) বিন্যস্ত বা শ্রেণিকৃত উপাত্তের ক্ষেত্রে:
ধরি, সর্বশেষ শ্রেণির উচ্চসীমা $L_u$ এবং সর্বপ্রথম শ্রেণির নিম্নসীমা $L_l$, সুতরাং পরিসর, $R = L_u - L_l$ = সর্বশেষ শ্রেণির উচ্চসীমা - সর্বপ্রথম শ্রেণির নিম্নসীমা
\boxed{\text{বিন্যস্ত ও অবিন্যস্ত উপাত্তের ক্ষেত্রে পরিসর নির্ণয়ের সূত্রে পার্থক্য বিদ্যমান।}}
|
NCTB
|
প্রথম 20টি মৌলিক সংখ্যার পরিসর কত?
|
প্রথম 20টি মৌলিক সংখ্যা: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71
এখানে সর্বোচ্চ সংখ্যা 71 ও সর্বনিম্ন সংখ্যা 2। $\therefore$ পরিসর = 71 - 2 = 69
\boxed{69}।
|
NCTB
|
প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।
|
প্রথম $n$ সংখ্যা স্বাভাবিক সংখ্যার ভেদাঙ্ক,
$\frac{\sum x_i^2}{n} - (\frac{\sum x_i}{n})^2$
$=\frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2}{n} - (\frac{1 + 2 + 3 + ... + n}{n})^2$
$=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n} - (\frac{n(n+1)}{2n})^2$
$=\frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{(n+1)^2}{4}$
$=\frac{2(n+1)(2n+1) - 3(n+1)^2}{12}$
$=\frac{(n+1)(4n+2 - 3n - 3)}{12}$
$=\frac{(n+1)(n-1)}{12}$
$=\frac{n^2 - 1}{12}$ (Ans.)
|
NCTB
|
$-2x, -x, 0, x, 2x$ সংখ্যাগুলোর গড় ব্যবধান ও পরিমিত ব্যবধান কত?
|
প্রদত্ত উপাত্ত : $-2x, -x, 0, x, 2x$
প্রদত্ত উপাত্তগুলোর গড় = $\frac{-2x - x + 0 + x + 2x}{5} = 0$
$\therefore$ গড় ব্যবধান = $\frac{|-2x - 0| + |-x - 0| + |0 - 0| + |x - 0| + |2x - 0|}{5}$
$=\frac{2x + x + x + 2x}{5} = \frac{6x}{5}$ (Ans.)
পরিমিত ব্যবধান
$=\sqrt{\frac{(-2x-0)^2 + (-x-0)^2 + (0-0)^2 + (x-0)^2 + (2x-0)^2}{5}}$
$=\sqrt{\frac{4x^2 + x^2 + 0 + x^2 + 4x^2}{5}}$
$=\sqrt{\frac{10x^2}{5}} = \sqrt{2x^2} = \sqrt{2}x$ (Ans.)
|
NCTB
|
প্রথম $n$ সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার পরিমিত ব্যবধান $2\sqrt{6}$ হলে, $n = $ কত?
|
শর্তমতে, $\sqrt{\frac{n^2-1}{12}} = 2\sqrt{6}$
বা, $\frac{n^2-1}{12} = 24$ [বর্গ করে] বা, $n^2 - 1 = 288$
বা, $n^2 = 289$ বা, $n = 17$ (Ans.)
|
NCTB
|
কোনো কোম্পানীর ছয় জন শ্রমিকের দৈনিক আয় যথাক্রমে: $210, 220, 225, 230, 235, 238$ পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।
|
আমরা জানি, পরিমিত ব্যবধান, $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum x_i^2 - (\frac{1}{n} \sum x_i)^2 }$
পরিমিত ব্যবধান নির্ণয়ের গণনা তালিকা:
| আয় ($x_i$) | $x_i^2$ |
| --- | --- |
| 210 | 44100 |
| 220 | 48400 |
| 225 | 50625 |
| 230 | 52900 |
| 235 | 55225 |
| 238 | 56644 |
|$\sum x_i = 1358$ | $\sum x_i^2 = 307894$ |
$\therefore$ পরিমিত ব্যবধান, $\sigma = \sqrt{\frac{1}{6} \times 307894 - (\frac{1358}{6})^2} = 9.43$ (প্রায়) (Ans.)
|
NCTB
|
নিম্নে $60$ জন শিক্ষার্থীর প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন দেওয়া হলো :
| প্রাপ্ত নম্বর ($x_i$) | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| শিক্ষার্থী সংখ্যা ($f_i$) | 4 | 6 | 12 | 18 | 15 | 5 |
প্রদত্ত উপাত্তের পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।
|
আমরা জানি, পরিমিত ব্যবধান, $\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum f_i x_i^2 - (\frac{1}{N} \sum f_i x_i)^2 }$
পরিমিত ব্যবধান নির্ণয়ের তালিকা:
| প্রাপ্ত নম্বর ($x_i$) | শিক্ষার্থী সংখ্যা ($f_i$) | $f_i x_i$ | $f_i x_i^2$ |
| --- | --- | --- | --- |
| 40 | 4 | 160 | 6400 |
| 50 | 6 | 300 | 15000 |
| 60 | 12 | 720 | 43200 |
| 70 | 18 | 1260 | 88200 |
| 80 | 15 | 1200 | 96000 |
| 90 | 5 | 450 | 40500 |
| | N = 60 | $\sum f_i x_i = 4090$ | $\sum f_i x_i^2 = 289300$ |
$\therefore$ পরিমিত ব্যবধান, $\sigma = \sqrt{\frac{1}{60} \times 289300 - (\frac{1}{60} \times 4090)^2} = \sqrt{4821.67 - (68.17)^2} = \sqrt{174.52} = 13.21$ (প্রায়) (Ans.)
|
NCTB
|
S = {7, 8, 9, 11, 12, 14} হলে, S এর উপাদানগুলোর পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।
|
S এর উপাদানগুলো হলো: 7, 8, 9, 11, 12, 14 এখানে, n = 6 পরিমিত ব্যবধান নির্ণয়ের গণনা তালিকা:
| $x_i$ | 7 | 8 | 9 | 11 | 12 | 14 | $\sum x_i = 61$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $x_i^2$ | 49 | 64 | 81 | 121 | 144 | 196 | $\sum x_i^2 = 655$ |
পরিমিত ব্যবধান, $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum x_i^2 - (\frac{1}{n}\sum x_i)^2} = \sqrt{\frac{1}{6} \times 655 - (\frac{1}{6} \times 61)^2} = \sqrt{109.17 - 103.36} = \sqrt{5.81} = 2.41$ (প্রায়)
\boxed{2.41 (প্রায়)} (Ans.)
|
NCTB
|
N=50, $\sum f_i x_i = 2150$ এবং $\sum f_i x_i^2 = 102650$ হলে, $\sigma$ = কত?
|
দেওয়া আছে, N = 50, $\sum f_i x_i = 2150$, $\sum f_i x_i^2 = 102650$
$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum f_i x_i^2 - (\frac{1}{N} \sum f_i x_i)^2} = \sqrt{\frac{102650}{50} - (\frac{2150}{50})^2} = \sqrt{2053 - 1849} = \sqrt{204} = 14.28$ (প্রায়)
\boxed{14.28 (প্রায়)} (Ans.)
|
NCTB
|
-2, -1, 0, 1, 2 তথ্য সারির ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।
|
ভেদাঙ্ক নির্ণয়ের সারণী:
| $x_i$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | $\sum x_i = 0$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $x_i^2$ | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | $\sum x_i^2 = 10$ |
$\therefore$ ভেদাঙ্ক, $\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum x_i^2 - (\frac{1}{N} \sum x_i)^2 = \frac{10}{5} - (\frac{0}{5})^2 = 2$
\boxed{2} (Ans.)
|
NCTB
|
S₁ = {15, 18, 24, 35, 40, 42, 54, 60} হলে S₁ এর উপাদানগুলোর পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।
|
পরিমিত ব্যবধান নির্ণয়ের তালিকা:
| $S_i$ | $\bar{S}$ | $|S_i - \bar{S}|$ | $(S_i - \bar{S})^2$ |
|---|---|---|---|
| 15 | | 21 | 441 |
| 18 | | 18 | 324 |
| 24 | | 12 | 144 |
| 35 | | 1 | 1 |
| 40 | = 36 | 4 | 16 |
| 42 | | 6 | 36 |
| 54 | | 18 | 324 |
| 60 | | 24 | 576 |
| $\sum S_i = 288$ | | $\sum |S_i - \bar{S}| = 104$ | $\sum (S_i - \bar{S})^2 = 1862$ |
$\therefore$ পরিমিত ব্যবধান, $\sigma = \sqrt{\frac{\sum (S_i - \bar{S})^2}{N}} = \sqrt{\frac{1862}{8}} = \sqrt{232.75} = 15.26$ (প্রায়)
\boxed{15.26 (প্রায়)} (Ans.)
|
NCTB
|
S = {1, 2, 3, .............., 50} হলে, S এর জোড় সংখ্যাগুলির ভেদাংক নির্ণয় কর।
|
দেওয়া আছে, S = {1, 2, 3, ....... 50}
মনে করি, S এর জোড় সংখ্যাগুলির চলক,
$x_i$ = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50
এখানে, মোট সদস্য, n = 25
$\sum x_i = 2 + 4 + 6 + ... + 50 = 2(1 + 2 + 3 + ... + 25) = 2 \frac{25(25+1)}{2} = 25 \cdot 26 = 650$
আবার, $\sum x_i^2 = 2^2 + 4^2 + 6^2 + ... + 50^2 = 4(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 25^2) = 4 \frac{25(25+1)(2 \cdot 25 + 1)}{6} = 4 \frac{25 \cdot 26 \cdot 51}{6} = 22100$
আমরা জানি, ভেদাঙ্ক, $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\frac{\sum x_i}{n})^2 = \frac{22100}{25} - (\frac{650}{25})^2 = 884 - 676 = 208$
\boxed{208} (Ans.)
|
NCTB
|
S₁ = {1, 3, 4, 5, 7, 9, 20} হলে, S₁ এর উপাদানগুলির পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।
|
S₁ = {1, 3, 4, 5, 7, 9, 20}
প্রদত্ত সংখ্যাগুলির গড়, $\bar{x} = \frac{1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 9 + 20}{7} = \frac{49}{7} = 7$
পরিমিত ব্যবধান, $\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}} = \sqrt{\frac{(1-7)^2 + (3-7)^2 + (4-7)^2 + (5-7)^2 + (7-7)^2 + (9-7)^2 + (20-7)^2}{7}} = \sqrt{\frac{36 + 16 + 9 + 4 + 0 + 4 + 169}{7}} = \sqrt{\frac{238}{7}} = \sqrt{34} = 5.831$ (প্রায়)
\boxed{5.831 (প্রায়)} (Ans.)
|
NCTB
|
S = {4, 6, 8, 10, 12, .......... 36} হলে, 'S' এর ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।
|
দেওয়া আছে,
S = {4, 6, 8, 10, 12, .......... 36}
= {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36}
ভেদাঙ্ক নির্ণয়ের সারণি:
| $x_i$ | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 | 26 | 28 | 30 | 32 | 34 | 36 | $\sum x_i = 340$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|$x_i^2$ | 16 | 36 | 64 | 100 | 144 | 196 | 256 | 324 | 400 | 484 | 576 | 676 | 784 | 900 | 1024 | 1156 | 1296 | $\sum x_i^2 = 8432$|
এখানে, n = 17
$\therefore$ ভেদাঙ্ক, $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\frac{\sum x_i}{n})^2 = \frac{8432}{17} - (\frac{340}{17})^2 = 496 - 400 = 96$
\boxed{96} (Ans.)
|
NCTB
|
A = {$x_i$: - 3 < $x_i$ $\leq$ 3 এবং $x_i$ $\in$ Z} হলে, প্রদত্ত উপাত্ত সেটের পরিমিত ব্যবধান নির্ণয় কর।
|
দেওয়া আছে, A = {$x_i$: - 3 < $x_i$ $\leq$ 3 এবং $x_i$ $\in$ Z}
$\therefore$ A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}
A সেটের উপাদানগুলো হলো -2, -1, 0, 1, 2, 3
| $x_i$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | $\sum x_i = 3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|$x_i^2$ | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | $\sum x_i^2 = 19$|
$\therefore$ পরিমিত ব্যবধান, $\sigma = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n} - (\frac{\sum x_i}{n})^2} = \sqrt{\frac{19}{6} - (\frac{3}{6})^2} = \sqrt{\frac{19}{6} - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{38 - 3}{12}} = \sqrt{\frac{35}{12}} = 1.71$ (প্রায়)
\boxed{1.71 (প্রায়)} (Ans.)
|
NCTB
|
প্রদত্ত উপাত্তের ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।
|
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{নম্বর} (x_i) & \text{ছাত্র সংখ্যা} (f_i) & f_ix_i & f_ix_i^2 \\
\hline
15 & 3 & 45 & 675 \\
17 & 5 & 85 & 1445 \\
20 & 7 & 140 & 2800 \\
25 & 9 & 225 & 5625 \\
30 & 8 & 240 & 7200 \\
36 & 6 & 216 & 7776 \\
44 & 2 & 88 & 3872 \\
\hline
\text{মোট} & N=40 & 1039 & 29393 \\
\hline
\end{array}
আমরা জানি, ভেদাঙ্ক, $\sigma^2 = \frac{\sum f_ix_i^2}{N} - (\frac{\sum f_ix_i}{N})^2$
$ = \frac{29393}{40} - (\frac{1039}{40})^2 = 60.12 $ (Ans.)
|
NCTB
|
X = {7, 8, 10, 11, 13, 14} হলে, সংখ্যাগুলির ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।
|
X এর সংখ্যাগুলি নিম্নরূপ: 7, 8, 10, 11, 13, 14
এখানে, n = 6
ভেদাঙ্ক নির্ণয়ের গণনা তালিকা:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x_i & 7 & 8 & 10 & 11 & 13 & 14 & \sum x_i = 63 \\
\hline
x_i^2 & 49 & 64 & 100 & 121 & 169 & 196 & \sum x_i^2 = 699 \\
\hline
\end{array}
$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\frac{1}{n} \sum x_i)^2$
$ = \frac{1}{6} \times 699 - (\frac{1}{6} \times 63)^2 = 6.25$ (Ans.)
|
NCTB
|
একটি পাত্রে ৪টি লাল বল, চটি কালো বল, ১টি সাদা বল, 4টি হলুদ বল এবং 3টি সবুজ বল আছে। উল্লেখিত বলের সংখ্যাগুলোর ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।
|
ধরি, সংখ্যার চলক, $x_i = 8, 6, 5, 4, 3$
মোট সংখ্যা, n = 5
$\sum x_i = 8+6+5+4+3=26$
$\sum x_i^2 = 8^2 + 6^2 + 5^2 + 4^2+ 3^2 = 150$
আমরা জানি, ভেদাঙ্ক, $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\frac{\sum x_i}{n})^2$
$ = \frac{150}{5} - (\frac{26}{5})^2$
$= 30-27.04 = 2.96 $ (Ans.)
|
NCTB
|
প্রথম 50টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি কত?
|
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = $\frac{n(n + 1) (2n + 1)}{6}$
$ = \frac{50(50+1)(2 \times 50 + 1)}{6} = 42925 $ (Ans.)
|
NCTB
|
দুটি সংখ্যার গাণিতিক গড় ও ভেদাঙ্ক যথাক্রমে 10 ও 9 হলে সংখ্যা দুটির মান নির্ণয় কর।
|
মনে করি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে $x_1$ ও $x_2$; $x_1 > x_2$
গাণিতিক গড়, $\bar{x} = \frac{x_1+x_2}{2}$
বা, $10 = \frac{x_1+x_2}{2}$, বা, $x_1 + x_2 = 20$ ........ (i)
এবং পরিমিত ব্যবধান, $ \sigma = \sqrt{9} = 3$
আমরা জানি, দুটি অসম উপাত্তের ক্ষেত্রে,
পরিসর $= \frac{|x_1-x_2|}{2}$, বা, $3 = \frac{|x_1-x_2|}{2}$ বা, $x_1-x_2 = 6$ ........ (ii)
(i) + (ii) হতে পাই, $x_1 + x_2 + x_1-x_2 = 20+6$
বা, $2x_1 = 26$ $\therefore x_1 = 13$
(i) নং-এ x এর মান বসিয়ে পাই, $13+ x_2 = 20$ $ \therefore x_2 = 7$
$\therefore$ সংখ্যা দুটির মান 13 ও 7. (Ans.)
|
NCTB
|
১ম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ভেদাঙ্ক 4 হলে, n এর মান নির্ণয় কর।
|
আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ভেদাঙ্ক = $\frac{n^2 - 1}{12}$
প্রশ্নমতে, $\frac{n^2 - 1}{12} = 4$ বা, $n^2 - 1 = 48$
বা, $n^2 = 49$ $\therefore n = 7$ (Ans.)
|
NCTB
|
S = {8, 10, 5, 6, 15, 9} হলে, S এর উপাদানগুলোর গড় ব্যবধান নির্ণয় কর।
|
গড় = $\frac{8+10+5+6+15+9}{6} = 8.83$
গড় ব্যবধান
= $\frac{|8.83-8|+|8.83-10|+|8.83-5|+|8.83-6|+|8.83-15|+|8.83-9|}{6}$
= $\frac{0.83+1.17+3.83+2.83+6.17 +0.17}{6} = \frac{15}{6} = 2.5$ (Ans.)
|
NCTB
|
5, 9, 12, 3, 7 উপাদানগুলোর ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।
|
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x_i & 5 & 9 & 12 & 3 & 7 & \sum x_i = 36 \\
\hline
x_i^2 & 25 & 81 & 144 & 9 & 49 & \sum x_i^2 = 308 \\
\hline
\end{array}$
$\therefore$ ভেদাঙ্ক, $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\frac{\sum x_i}{n})^2$
$ = \frac{308}{5} - (\frac{36}{5})^2 = 9.76$ (Ans.)
|
NCTB
|
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখার পরিমিত ব্যবধান $\sqrt{14}$ হলে, n এর মান নির্ণয় কর।
|
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার পরিমিত ব্যবধান = $\sqrt{\frac{n^2-1}{12}}$
বা, $\sqrt{14} = \sqrt{\frac{n^2-1}{12}}$
বা, $14 = \frac{n^2-1}{12}$
বা, $n^2 = 14 \times 12 + 1 = 169$ $\therefore n = 13$ (Ans.)
|
NCTB
|
প্রথম ৪টি স্বাভাবিক সংখ্যার ভেদাঙ্ক নির্ণয় কর।
|
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ভেদাঙ্ক = $\frac{n^2-1}{12}$
$\therefore$ প্রথম ৪টি স্বাভাবিক সংখ্যার ভেদাঙ্ক = $\frac{8^2-1}{12} = 5.25$ (Ans.)
|
Subsets and Splits
No community queries yet
The top public SQL queries from the community will appear here once available.