Dataset Viewer
source
stringclasses 1
value | problem
stringlengths 16
340
| solution
stringlengths 20
3k
|
|---|---|---|
NCTB
|
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল $\pi x^2 - 4\pi x + 4\pi$ বর্গএকক হলে তার ব্যাসার্ধ কত?
|
সমাধান: দেওয়া আছে, বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi x^2 - 4\pi x + 4\pi$
$= \pi(x^2 - 4x + 4)$
$= \pi(x - 2)^2$
আমরা জানি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ $= r$ হলে, ক্ষেত্রফল $= \pi r^2$
শর্তমতে, $\pi r^2 = \pi(x - 2)^2$
বা, $r^2 = (x - 2)^2$
$\therefore r = x - 2$
অর্থাৎ, বৃত্তের ব্যাসার্ধ $(x - 2)$ একক।
|
NCTB
|
3.5 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট অর্ধবৃত্তের পরিধি কত?
|
সমাধান: 3.5 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের পরিধি $2\pi \times 3.5$ সে.মি.
$\therefore$ অর্ধবৃত্তের পরিধি $= \frac{2\pi \times 3.5}{2} = 3.5 \times 3.14 = 10.99$ সে.মি.
|
NCTB
|
একটি চাকার ব্যাস $\frac{6}{\pi}$ সে.মি. হলে, চাকাটি 8 বার ঘুরলে কত সে.মি. অতিক্রম করবে?
|
সমাধান: চাকার ব্যাসার্ধ $= \frac{6}{\pi \times 2} = \frac{3}{\pi}$ সে.মি.
$\therefore$ চাকার পরিধি $= 2\pi r = 2\pi \times \frac{3}{\pi} = 6$ সে.মি.
চাকাটি 1 বার ঘুরে অতিক্রম করে $= 6$ সে.মি.
$\therefore$ চাকাটি 8 বার ঘুরে অতিক্রম করে $= 6 \times 8 = 48$ সে.মি.
|
NCTB
|
জয়ন্ত তার ছোটো দুইটি এক-কেন্দ্রিক বৃত্ত অঙ্কন করল। বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 3 সে.মি. এবং 2 সে.মি.। তুমি কি এদের পরিধি দুটির মধ্যে মাঝের অংশের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি. তা বলতে পারবে?
|
সমাধান: 3 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi \times 3^2$ বর্গ সে.মি.
$= 9\pi$ বর্গ সে.মি.
এবং 2 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi \times 2^2$ বর্গ সে.মি.
$= 4\pi$ বর্গ সে.মি.
$\therefore$ বৃত্তক্ষেত্রের পরিধিদ্বয়ের মাঝের অংশের ক্ষেত্রফল
$= (9\pi - 4\pi)$ বর্গ সে.মি.
$= 5\pi$ বর্গ সে.মি.
|
NCTB
|
একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রের পরিধি এবং ব্যাসার্ধের পার্থক্য 4 সে.মি.। ক্ষেত্রটির ব্যাস মাপ কত সে.মি. পাওয়া যাবে?
|
সমাধান: ধরি, ছিপির ব্যাসার্ধ $= r$ সে.মি.
যেহেতু বৃত্তাকার ছিপির ব্যাসার্ধ = বৃত্তাকার ছিপির পরিধি $2\pi r$ সে.মি.
শর্তমতে, $2\pi r - r = 4$
বা, $r(2\pi - 1) = 4$
বা, $r = \frac{4}{2\pi - 1} = \frac{4}{2 \times 3.14 - 1}$
বা, $r = \frac{4}{6.28 - 1} = \frac{4}{5.28}$
$\therefore r = 0.7576$ সে.মি. (প্রায়)
$\therefore$ ব্যাস $= 2r = 2 \times 0.7576 = 1.5152$ সে.মি. (প্রায়)
|
NCTB
|
একজন মালী 21 মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তাকার বাগানের চারদিকে 5 মিটার চওড়া রাস্তা তৈরি করে। প্রতি মিটার রাস্তা তৈরি করতে 18 টাকা খরচ হলে, তাকে কত টাকার ঘাস কিনতে হবে?
|
সমাধান: দেওয়া আছে, বৃত্তাকার বাগানের ব্যাসার্ধ, $r = 21$ মি.
$\therefore$ বৃত্তাকার বাগানের পরিধি $= 2\pi r = 2 \times 3.14 \times 21$ মি.
$= 132$ মি. (প্রায়)
1 মিটার ঘড়ির মূল্য $= 18$ টাকা
132 মিটার ঘড়ির মূল্য $= (18 \times 132)$ টাকা
$= 2376$ টাকা
|
NCTB
|
একটি ঘোড়া সেকেণ্ডে 5 মিটার যায়। $\frac{8}{\pi}$ মিটার ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তাকার পথ পাড়ি দিতে ঘোড়াটির কত সময় লাগবে?
|
সমাধান: বৃত্তাকার পথের পরিধি $= 2\pi r = 2\pi \times \frac{8}{\pi} = 16$ মিটার
ঘোড়াটি 5 মিটার যায় 1 সেকেণ্ডে
$\therefore$ 16 মিটার যায় $= \frac{1 \times 16}{5} = 3.2$ সেকেণ্ডে
|
NCTB
|
একটি চাকার ব্যাসার্ধ 4 সে.মি. এবং টায়ারের পুরুত্ব 2 সে.মি. হলে টায়ারসহ চাকার পরিধি কত?
|
সমাধান: টায়ারসহ চাকার ব্যাসার্ধ $= 4 + 2 = 6$ সে.মি.
$\therefore$ টায়ারসহ পরিধি $= 2\pi r = 2\pi \times 6$
$= 12 \times 3.14$
$= 37.68$ সে.মি.
|
NCTB
|
একটি বৃত্তাকার বাগানের পরিধি $62.8$ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত?
|
সমাধান: বাগানের ব্যাসার্ধ = $r$ হলে,
পরিধি, $2\pi r = 62.8$
বা, $r = \frac{62.8}{2\pi} = \frac{62.8}{2 \times 3.14} = \frac{62.8}{6.28} = 10$
$\therefore$ বাগানের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = 3.14 \times 10^2 = 3.14 \times 100 = 314$ বর্গমিটার
|
NCTB
|
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3 গুণ করা হলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
|
সমাধান: ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = $r$ একক
$\therefore$ ক্ষেত্রফল, $A = \pi r^2$ বর্গএকক
ব্যাসার্ধ 3 গুণ হলে, নতুন ব্যাসার্ধ = $3r$ একক
$\therefore$ নতুন ক্ষেত্রফল $= \pi (3r)^2 = 9\pi r^2 = 9A$ বর্গএকক
$\therefore$ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে $= 9A - A = 8A$ বর্গএকক
$\therefore$ ক্ষেত্রফল 8 গুণ বৃদ্ধি পাবে।
|
NCTB
|
একটি বৃত্তের পরিধি দ্বিগুণ করা হলে এর ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?
|
সমাধান: ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = $r$
তাহলে পরিধি, $s = 2\pi r$
পরিধি দ্বিগুণ করা হলে নতুন পরিধি = $2s = 2 \times 2\pi r = 2\pi \times 2r$
$\therefore$ নতুন বৃত্তের ব্যাসার্ধ = $2r$
$\therefore$ বৃত্তটির প্রাথমিক ও নতুন ক্ষেত্রফল যথাক্রমে $\pi r^2$ এবং $\pi (2r)^2 = 4\pi r^2$ বর্গএকক
$\therefore$ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল 4 গুণ হবে।
|
NCTB
|
একটি বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ 30 মিটার। একজন দৌড়বিদ 5000 মিটার দৌড়ানোর জন্য মাঠটি কতবার পূর্ণ পরিভ্রমণ করবেন?
|
সমাধান: বৃত্তাকার মাঠের পরিধি = $2\pi r$
$= 2 \times 3.14 \times 30$
$= 60 \times 3.14$
$= 188.4$ মিটার
$\therefore 5000$ মিটার দৌড়ানোর জন্য পূর্ণ পরিভ্রমণ করবেন $= \frac{5000}{188.4} \approx 26.539 \approx 26$ বার
|
NCTB
|
একটি চাকা 100 বার ঘুরলে 628 মিটার যায়। চাকাটির ব্যাসার্ধ কত?
|
সমাধান: 100 বার ঘুরলে 628 মিটার যায়।
$\therefore 1$ বার ঘুরলে $= \frac{628}{100} = 6.28$ মিটার যায়
$\therefore$ চাকার পরিধি $= 6.28$ মিটার
চাকাটির ব্যাসার্ধ = $r$ হলে,
শর্তমতে, $2\pi r = 6.28$
বা, $2 \times 3.14 \times r = 6.28$
বা, $6.28r = 6.28$
$\therefore r = \frac{6.28}{6.28} = 1$ মিটার
|
NCTB
|
20 মিটার ব্যাসবিশিষ্ট একটি বৃত্তাকার মেঝে প্রতি বর্গমিটারে 50 টাকা করে রং করতে মোট কত টাকা খরচ হবে?
|
সমাধান: বৃত্তাকার মেঝের ক্ষেত্রফল = $\pi r^2$
$= \pi \times 20^2$
$= 3.14 \times 400$
$= 1256$ বর্গমিটার
1 বর্গমিটারে খরচ 50 টাকা
$\therefore 1256$ বর্গমিটারে খরচ $= 50 \times 1256 = 62800$ টাকা
|
NCTB
|
16 ইঞ্চি ব্যাসবিশিষ্ট একটি পিৎজার ক্ষেত্রফল কত?
|
সমাধান: পিৎজার ব্যাস 16 ইঞ্চি হলে এর ব্যাসার্ধ, $r = \frac{16}{2} = 8$ ইঞ্চি
$\therefore$ পিৎজার ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = \pi \times 8^2 = 64 \times 3.14 = 200.96$ বর্গ ইঞ্চি
|
NCTB
|
8 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি বর্গ অন্তলিখিত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?
|
সমাধান: 8 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট বর্গ অন্তলিখিত বৃত্তের ব্যাস = 8 সেমি
$\therefore$ ব্যাসার্ধ, $r = \frac{8}{2} = 4$ সেমি
$\therefore$ ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = \pi \times 4^2 = 3.14 \times 16 = 50.24$ বর্গ সেমি
|
NCTB
|
দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমষ্টি ও পার্থক্য যথাক্রমে 8 ও 2 সেমি হলে তাদের ক্ষেত্রফলের পার্থক্য কত?
|
সমাধান: বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধ $r_1$ ও $r_2$ হলে ক্ষেত্রফলদ্বয় যথাক্রমে $\pi r_1^2$ ও $\pi r_2^2$
$r_1 + r_2 = 8$
$r_1 - r_2 = 2$
$2r_1 = 10 \Rightarrow r_1 = 5$
$2r_2 = 6 \Rightarrow r_2 = 3$
ক্ষেত্রফলের পার্থক্য $= \pi r_1^2 - \pi r_2^2$
$= \pi (r_1^2 - r_2^2)$
$= \pi (r_1 + r_2)(r_1 - r_2)$
$= \pi \times 8 \times 2$
$= 16 \times 3.14$
$= 50.24$ বর্গসেমি
|
NCTB
|
একটি ফাঁপা বৃত্তাকার রিংয়ের বাইরের ও ভেতরের পরিধি যথাক্রমে $8\pi$ ও $10\pi$ একক হলে রিংটির পুরুত্ব কত?
|
সমাধান: ধরি, রিংটির বাইরের ও ভেতরের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে $r_2$ ও $r_1$ একক। রিংটির পুরুত্ব = $r_2 - r_1$ একক। প্রশ্নমতে, $2\pi r_2 - 2\pi r_1 = 10\pi - 8\pi$। বা, $2\pi(r_2 - r_1) = 2\pi$। $\therefore r_2 - r_1 = \\frac{2\pi}{2\pi} = 1$ একক।
|
NCTB
|
একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ $18$ মিটার এবং বাইরের $3$ মিটার চওড়া বৃত্তাকার একটি রাস্তা বিদ্যমান। রাস্তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
|
সমাধান: রাস্তার বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ = $18 + 3 = 21$ মিটার। রাস্তার বৃত্তাকার ক্ষেত্রের পরিধি = $2\\pi \\times 21 = 42\\pi = 42 \\times 3.14 = 131.88$ মিটার।
|
NCTB
|
একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফলের মান সমান হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
|
সমাধান: ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = $r$। সুতরাং পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে $2\\pi r$ ও $\\pi r^2$ বর্গএকক। প্রশ্নমতে, $2\\pi r = \\pi r^2$। বা, $2r = r^2$। বা, $r^2 - 2r = 0$। বা, $r(r-2) = 0$। যেহেতু $r \\ne 0$, সুতরাং $r-2 = 0 \\therefore r=2$ একক।
|
NCTB
|
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ $2x+1$ একক এবং ক্ষেত্রফল $2x^2+9x+4$ একক হলে $x$ এর মান কত?
|
সমাধান: বৃত্তের ক্ষেত্রফল = $\\pi r^2 = \\pi (2x+1)^2$। প্রশ্নমতে, $\\pi (2x+1)^2 = 2x^2+9x+4$। বা, $\\pi (2x+1)^2 = 2x(x+4)+1(x+4)$। বা, $\\pi (2x+1)^2 = (x+4)(2x+1)$। বা, $\\pi (2x+1) = x+4$। [$(2x+1)$ দ্বারা ভাগ করে]। বা, $2\\pi x + \\pi = x+4$। বা, $2\\pi x - x = 4 - \\pi$। বা, $x(2\\pi - 1) = 4 - \\pi$। $\\therefore x = \\frac{4-\\pi}{2\\pi-1}$।
|
NCTB
|
একটি বৃত্তের $19.635$ বর্গমিটার ক্ষেত্রফল হলে, বৃত্তের পরিধি কত?
|
সমাধান: ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = $r$ মিটার। আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = $\\pi r^2$ বর্গমিটার। প্রশ্নমতে, $\\frac{1}{4}\\pi r^2 = 19.635$। বা, $r^2 = \\frac{19.635 \\times 4}{3.14}$। বা, $r^2 = 25.013 \\quad \\therefore r = 5$ মিটার (প্রায়)। সুতরাং, বৃত্তের পরিধি = $2\\pi r = 2 \\times 3.14 \\times 5$ মিটার $ = 31.4$ মিটার।
|
NCTB
|
একটি ফাঁপা বৃত্তাকার রিংয়ের বাইরের ও ভেতরের পরিধি যথাক্রমে $8\pi$ ও $10\pi$ একক হলে রিংটির পুরুত্ব কত?
|
সমাধান: ধরি, রিংটির বাইরের ও ভেতরের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে $r_2$ ও $r_1$ একক। রিংটির পুরুত্ব = $r_2 - r_1$ একক। প্রশ্নমতে, $2\pi r_2 - 2\pi r_1 = 10\pi - 8\pi$। বা, $2\pi(r_2 - r_1) = 2\pi$। $\therefore r_2 - r_1 = \\frac{2\pi}{2\pi} = 1$ একক।
|
NCTB
|
একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $64a^2b + 80ab^2$ বর্গ একক এবং প্রস্থ $8ab$ হলে, তার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
|
সমাধান: দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= 64a^2b + 80ab^2$ বর্গএকক
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ $8ab$ একক
$\therefore$ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $= (64a^2b + 80ab^2) \div 8ab$
$= 8ab(8a + 10b) \div 8ab$
$= (8a + 10b)$ একক
|
NCTB
|
$x$ একক দৈর্ঘ্য এবং $y$ একক প্রস্থ বিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $1$ একক হ্রাস করা হলে, এর ক্ষেত্রফল কত একক হ্রাস পাবে তা নির্ণয় কর।
|
সমাধান: আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $=$ দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ $= xy$ বর্গএকক
$1$ একক হ্রাস করলে দৈর্ঘ্য $= (x-1)$ একক
$\therefore$ $1$ একক হ্রাস করলে ক্ষেত্রফল $= (x-1).y$ বর্গএকক
$= (xy-y)$ বর্গএকক
$\therefore$ ক্ষেত্রফল হ্রাস পায় $= (xy - (xy-y))$ বর্গএকক
$= (xy - xy + y)$ বর্গএকক
$= y$ বর্গএকক
|
NCTB
|
$8a^3b^4$ ও $5a^2b^3$ এর সবচেয়ে বড় সাধারণ উৎপাদক নির্ণয় কর।
|
সমাধান: ১ম রাশি $= 8a^3b^4$
$8a^3b^4$ এর উৎপাদক $= 2.2.2.a.a.a.b.b.b.b$
২য় রাশি $= 5a^2b^3$
$5a^2b^3$ এর উৎপাদক $= 5.a.a.b.b.b$
সাধারণ উৎপাদক $= a.a.b.b.b = a^2b^3$
|
NCTB
|
যদি একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $(x+4)$ মিটার এবং এর ক্ষেত্রফল $x^2 + 7x + 12$ বর্গমিটার হয়, সে ক্ষেত্রে প্রস্থ কত হবে তা নির্ণয় কর।
|
সমাধান: আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল $= (x^2 + 7x + 12)$ বর্গমিটার
$= (x^2 + 4x + 3x + 12)$ বর্গমিটার
$= (x(x+4) + 3(x+4))$ বর্গমিটার
$= ((x+4)(x+3))$ বর্গমিটার
$\therefore$ আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য $(x+4)$ মিটার হলে,
প্রস্থ হবে $(x+3)$ মিটার।
|
NCTB
|
একটি আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য $4a^2b^4$ এবং প্রস্থ $3a^2b^3$। আয়তাকার জমির সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি বর্গাকার পুকুর খনন করা হলো, যার প্রথম $2a^2b^3$, পুকুরটির দৈর্ঘ্য কত?
|
সমাধান: আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল $= 4a^2b^4 \times 3a^2b^3 = 12a^4b^7$। এখন, $12 = 2 \times 6$ এবং $a^4b^7 = a \times a \times a \times a \times b \times b \times b \times b \times b \times b \times b$ সুতরাং $12a^4b^7 = 2a^2b^3 \times 6a^2b^4$। \($\therefore\) আয়তাকার পুকুরটির প্রস্থ $2a^2b^3$ হলে, দৈর্ঘ্য $6a^2b^4$।
|
NCTB
|
$24a^8b^4$ এবং $6a^4b^3$ এর গসাগু নির্ণয় কর।
|
সমাধান: ১ম রাশি $= 24a^8b^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times a \times a \times a \times a \times a \times a \times a \times a \times b \times b \times b \times b$
২য় রাশি $= 6a^4b^3 = 2 \times 3 \times a \times a \times a \times a \times b \times b \times b$
রাশি দুইটির উৎপাদকগুলো ভেন চিত্রে উপস্থাপন করি,
\($\therefore\) নির্ণেয় গসাগু $= 2 \times 3 \times a \times a \times a \times a \times b \times b \times b = 6a^4b^3$ (Ans.)
|
NCTB
|
যে সকল বীজগাণিতিক রাশির গসাগু $x$, আমরা কি সেই সকল রাশিগুলোকে $x$ দ্বারা ভাগ করতে পারি? – ব্যাখ্যা কর।
|
সমাধান: যেসকল বীজগাণিতিক রাশির গসাগু $x$, সেই সকল রাশিগুলোকে আমরা $x$ দ্বারা ভাগ করতে পারি। কারণ গসাগু হলো কতগুলো রাশির সাধারণ উৎপাদক বা গুণনীয়ক গুলোর গুণফল যা দ্বারা ঐ রাশিগুলো সম্পূর্ণ বিভাজ্য।
|
NCTB
|
যে সকল বীজগাণিতিক রাশির লসাগু $15xyzp$, আমরা কি সেই সকল বীজগাণিতিক রাশি $15xyzp$ কে ভাগ করতে পারি – ব্যাখ্যা কর।
|
সমাধান: যেসকল বীজগাণিতিক রাশির লসাগু $15xyzp$, সেই সকল বীজগাণিতিক রাশি দ্বারা আমরা লসাগু $15xyzp$ কে ভাগ করতে পারি। কারণ দুই বা ততোধিক রাশি দিয়ে যে সকল রাশি সম্পূর্ণভাবে বিভাজ্য, তাদের মধ্যে সর্বোচ্চ মাত্রা বিশিষ্ট রাশিটি হলো ঐ দুই বা ততোধিক রাশির লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা লসাগু।
|
NCTB
|
$5x^2y^2$, $10xz^3$, $15y^3z^4$ এর সসর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক নির্ণয় কর এবং তা ভেন চিত্রে উপস্থাপন কর।
|
সমাধান: $5x^2y^2$, $10xz^3$ এবং $15y^3z^4$ এর লসাগু।
$5, 10$ ও $15$ এর লসাগু $30$
এখন, রাশিগুলোকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি এবং তা থেকে সাধারণ উৎপাদক খুঁজে বের করি।
$5x^2y^2 = 5 \times x \times x \times y \times y$
$10xz^3 = 5 \times 2 \times x \times z \times z \times z$
$15y^3z^4 = 5 \times 3 \times y \times y \times y \times z \times z \times z \times z$
\($\therefore\) নির্ণেয় লসাগু $= 2 \times 3 \times 5 \times x \times x \times y \times y \times y \times z \times z \times z \times z = 30x^2y^3z^4$ (Ans.)
|
NCTB
|
একটি বাক্সের আয়তন $18x^5y^3z^6$ ঘন একক এবং অপর একটি বাক্সের আয়তন $20x^7y^2z^9$ ঘন একক। বাক্স দুটির দৈর্ঘ্য সমান হলে, বৃহত্তম দৈর্ঘ্য কত হতে পারে তা নির্ণয় কর।
|
সমাধান: $18x^5y^3z^6$ ও $20x^7y^2z^9$ রাশি দুটি থেকে সাধারণ উৎপাদক নির্ণয় করি ও তা থেকে সাধারণ উৎপাদক চিহ্নিত করি।
$18x^5y^3z^6 = 2 \times 3 \times 3 \times x \times x \times x \times x \times x \times y \times y \times y \times z \times z \times z \times z \times z \times z$
$20x^7y^2z^9 = 2 \times 2 \times 5 \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times x \times y \times y \times z \times z \times z \times z \times z \times z \times z \times z \times z$
আবার দুটি উৎপাদকগুলোকে ভেনচিত্রে উপস্থাপন করি।
\($\therefore\) নির্ণেয় গসাগু $= 2x^5y^2z^6$ একক। (Ans.)
|
NCTB
|
$8a^4b^3c$ এবং $20a^2bc^3$ রাশিদ্বয়ের গসাগু ও লসাগু চাইতে চিহ্নিত করে দেখাও।
|
সমাধান: $8a^4b^3c, 20a^2bc^3$
সংখ্যা সহগ যথাক্রমে $8$ ও $20$ যাদের গসাগু $4$ এবং লসাগু $40$।
এখন, $8a^4b^3c$ ও $20a^2bc^3$ রাশি দুটির মৌলিক উৎপাদকে খুঁজে বের করি এবং সাধারণ উৎপাদক চিহ্নিত করি।
$8a^4b^3c = 2 \times 2 \times 2 \times a \times a \times a \times a \times b \times b \times b \times c$
$20a^2bc^3 = 2 \times 2 \times 5 \times a \times a \times b \times c \times c \times c$
আবার, দুটি উৎপাদকগুলোকে ভেনচিত্রে স্থাপন করি:
\($\therefore\) গসাগু $= 4a^2bc$
এবং লসাগু $= (5.c.c)(2.2.a.a.b)(2.a.b)$
$= 40a^4b^3c^3$ (Ans.)
|
NCTB
|
দেখাও যে, $x^4 - 625$ এবং $x^2 + 3x - 10$ রাশি দুইটির গসাগু $\times$ লসাগু = রাশি দুইটির গুণফল।
|
প্রথম রাশি = $x^4 - 625$
$= (x^2)^2 - (25)^2$ [: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)]$
$= (x^2 + 25)(x^2 - 25)$
$= (x^2 + 25)(x+5)(x-5)$
দ্বিতীয় রাশি = $x^2 + 3x - 10$
$= x^2 + 5x - 2x - 10$
$= x(x+5) - 2(x+5)$
$= (x+5)(x-2)$
রাশি দুইটির সাধারণ উৎপাদক $(x+5)$
$\therefore$ গসাগু = $(x+5)$
আবার, লসাগু = $(x+5)(x-5)(x^2+25)(x-2)$
এখন,
গসাগু $\times$ লসাগু = $(x+5) \times (x+5)(x-5)(x^2+25)(x-2)$
$= (x+5)(x-2) \times (x^2 - 25)(x^2 + 25)$
$= (x^2 + 3x - 10) \times (x^4 - 625)$
= রাশি দুইটির গুণফল
|
NCTB
|
$x+2$, $x^2+2x$, $x^2+7x+10$ এর লসাগু নির্ণয় করো।
|
প্রথম রাশি = $x+2$
দ্বিতীয় রাশি = $x^2+2x = x(x+2)$
তৃতীয় রাশি = $x^2+7x+10 = x^2+5x+2x+10 = x(x+5)+2(x+5) = (x+5)(x+2)$
$\therefore$ নির্ণেয় লসাগু: $x(x+2)(x+5)$
|
NCTB
|
গসাগু ও লসাগু কাকে বলে?
|
গসাগু: দুই বা ততোধিক রাশির প্রত্যেক সাধারণ গুণনীয়ক বা উৎপাদক এর দ্বারা রাশিগুলো প্রত্যেকটিকে নিঃশেষে বিভাজ্য হয় তাকে উক্ত রাশিগুলোর গসাগু বলা হয়।
লসাগু: দুই বা ততোধিক রাশির প্রত্যেকটি গুণজ সাধারণ গুণিতক অথবা, ক্ষুদ্রতম যে রাশি দুই বা ততোধিক রাশির প্রত্যেকটি দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়, ঐ রাশিকে উক্ত রাশিগুলোর লসাগু বলা হয়।
|
NCTB
|
গুণনীয়ক এবং গুণিতক কাকে বলে?
|
উত্তর: গুণনীয়ক: কোন সংখ্যা যে সকল সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয় তাদেরকে উক্ত সংখ্যার গুণনীয়ক বলা হয়। যেমন: $13 = 1 \times 13$ সুতরাং, $1$ ও $13$ হল $13$ এর গুণনীয়ক। গুণিতক: কোন একটি রাশি অপর একটি রাশি দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে প্রথম রাশিটিকে দ্বিতীয় রাশির গুণিতক বলা হয়। যেমন: $15 = 5 \times 3$, এখানে $15$ হল $5$ ও $3$ এর গুণিতক।
|
NCTB
|
$2a^2 - 4ab$ এবং $a^2 - 4b^2$ এর গ.সা.গু নির্ণয় করো।
|
সমাধান: $2a^2 - 4ab = 2a(a - 2b)$ $a^2 - 4b^2 = a^2 - (2b)^2 = (a - 2b)(a + 2b)$ রাশি দুটির সর্বোচ্চ সাধারণ উৎপাদক $(a - 2b)$। ∴ নির্ণেয় গ.সা.গু $= a - 2b$ (Ans.)
|
NCTB
|
$4a^3 + 8a^2b$ এবং $16a^2b^2 + 2a^3b$ এর ল.সা.গু নির্ণয় করো।
|
সমাধান: $4a^3 + 8a^2b = 4a^2(a + 2b)$ $16a^2b^2 + 2a^3b = 2a^2b(8b + a)$ এখানে, $2$ ও $4$ এর ল.সা.গু $4$ ∴ নির্ণেয় ল.সা.গু $= 4a^2b(2b + a)$ (Ans.)
|
NCTB
|
$x^2 + 8x + 15$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।
|
সমাধান: $x^2 + 8x + 15 = x^2 + 3x + 5x + 15 = x(x + 3) + 5(x + 3) = (x + 3)(x + 5)$ (Ans.)
|
NCTB
|
$36a^2b^2 + 48ab^3 + 16b^4$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।
|
সমাধান: $36a^2b^2 + 48ab^3 + 16b^4 = 4b^2(9a^2 + 12ab + 4b^2) = 4b^2\{(3a)^2 + 2.3a.2b + (2b)^2\} = 4b^2(3a + 2b)^2$ (Ans.)
|
NCTB
|
কোনো ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা $12$ সেমি এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য $8$ সেমি ও $6$ সেমি হলে, ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
|
$ ext{ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল} = rac{1}{2} imes ( ext{সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি}) imes ext{উচ্চতা}$
$= rac{1}{2} imes (8 + 6) imes 12$ বর্গসেমি.
|
NCTB
|
কোনো ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল $32$ বর্গমিটার এবং উচ্চতা $4$ মিটার হলে, সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি কত?
|
$ ext{ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল} = rac{1}{2} imes ( ext{সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি}) imes ext{উচ্চতা}$
$ herefore ext{সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি} = rac{2 imes ext{ক্ষেত্রফল}}{ ext{উচ্চতা}} = rac{2 imes 32}{4}$ মিটার
|
NCTB
|
একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য $15$ সেমি এবং ক্ষেত্রফল $45$ বর্গ সেমি হলে, সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব $6$ সেমি হলে, সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্যটি কত?
|
$ ext{সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি} = rac{2 imes ext{ক্ষেত্রফল}}{ ext{উচ্চতা}} = rac{2 imes 45 \text{ বর্গ সেমি}}{6 \text{ সেমি}} = 15$ সেমি
$ herefore ext{সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্য বাহু} = 15 - 15 = 0$ সেমি
|
NCTB
|
কোনো আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা $80$ মিটার এবং একটি বাহু $25$ মিটার হলে, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
|
ধরি, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য = $b$ মিটার
$ ext{পরিসীমা} = 2(a+b)$
বা, $a+b = rac{80}{2} = 40$ মিটার
$ herefore b = 40-a$
$= 40 - 25 = 15$ মিটার
|
NCTB
|
একটি সামান্তরিকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য $5$ সেমি. এবং বিপরীত শীর্ষ থেকে ঐ বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য $3.5$ সেমি. হলে, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?
|
আমরা জানি,
$ ext{সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল} = \text{ভূমি} imes \text{উচ্চতা}$
$= (5 imes 3.5)$ বর্গসেমি.
|
NCTB
|
একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল $80$ বর্গমিটার, একটি বাহুর দৈর্ঘ্য $25$ মিটার হলে বিপরীত শীর্ষ হতে কর্ণটির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?
|
$ ext{সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল} = \text{ভূমি} imes \text{উচ্চতা}$
বা, $ ext{লম্বের দৈর্ঘ্য} = rac{80}{25}$ মিটার
|
NCTB
|
একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল $48$ বর্গ সেমি. এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য $8$ সেমি. হলে, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
|
ধরি, $ ext{অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য} = b$ সেমি.
দেওয়া আছে, $ ext{একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য}, a = 8$ সেমি.
$ ext{রম্বসের ক্ষেত্রফল} = rac{1}{2} imes a imes b$
$ herefore b = rac{2 imes \text{ক্ষেত্রফল}}{a} = rac{2 imes 48}{8}$ সেমি.
|
NCTB
|
একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল $144$ বর্গসেমি. এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য $16$ সেমি. হলে, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
|
ধরি, $ ext{অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য} = b$ সেমি.
দেওয়া আছে, $ ext{একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য}, a = 16$ সেমি.
$ ext{রম্বসের ক্ষেত্রফল} = rac{1}{2} imes a imes b$
$ herefore b = rac{2 imes \text{ক্ষেত্রফল}}{a} = rac{2 imes 144}{16}$ সেমি.
|
NCTB
|
একটি রম্বসের একটি কর্ণ অপরটির তুলনায় $2$ সেমি. বড়। ছোট কর্ণের দৈর্ঘ্য $13$ সেমি. হলে, রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?
|
$ ext{ছোট কর্ণের দৈর্ঘ্য } 13$ সেমি.
$ herefore ext{বড় কর্ণের দৈর্ঘ্য} = 13+2 = 15$ সেমি.
$ ext{রম্বসের ক্ষেত্রফল} = rac{1}{2} imes 13 imes 15$ বর্গ সেমি.
|
NCTB
|
একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য $5$ সেমি, প্রস্থ $2$ সেমি ও উচ্চতা $3$ সেমি হলে, ঘনবস্তুটির ৪টি পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
|
দেওয়া আছে,
$ ext{দৈর্ঘ্য}, l = 5$ সেমি; $ ext{প্রস্থ}, b = 2$ সেমি এবং $ ext{উচ্চতা}, h = 3$ সেমি
$ herefore ext{৪টি পৃষ্ঠের মোট ক্ষেত্রফল} = 2(l \times h + b \times h)$
$= 2(5 \times 3 + 2 \times 3)$ বর্গসেমি.
|
NCTB
|
একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে $8$ মিটার, $6$ মিটার ও $4$ মিটার হলে, ঘনবস্তুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
|
দেওয়া আছে, $ ext{ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য}, l = 8$ মিটার, $ ext{প্রস্থ}, b = 6$ মিটার
এবং $ ext{উচ্চতা}, h = 4$ মিটার
$ herefore ext{সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল} = 2(lb+bh+lh)$
$= 2(8 \times 6 + 6 \times 4 + 8 \times 4)$ বর্গমিটার
|
NCTB
|
একটি ঘনকের দৈর্ঘ্য $20$ সে.মি. প্রস্থ $16$ সে.মি. এবং উচ্চতা $12$ সে.মি. হলে, বস্তুটির আয়তন কত?
|
সমাধান: ঘনবস্তুর আয়তন $=$ দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ $\times$ উচ্চতা $ = (20 \times 16 \times 12)$ ঘন সে.মি. $= 3840$ ঘন সে.মি. (Ans.)
|
NCTB
|
একটি ঘনকের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে $3x, 2x$ ও $x$ সে.মি.। বস্তুটির আয়তন নির্ণয় কর, যখন $x=4$ সে.মি.।
|
সমাধান: আয়তন $= 3x \times 2x \times x$ ঘন সে.মি. $= (3 \times 4 \times 2 \times 4 \times 4)$ ঘন সে.মি. $= 384$ ঘন সে.মি.
|
NCTB
|
একটি ঘনকের ধার $7$ সে.মি. হলে, ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
|
সমাধান: দেওয়া আছে, ঘনকের ধার, $l = 7$cm $\therefore$ সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 6l^2 = 6 \times 7^2$ বর্গ সে.মি. $= 6 \times 49$ বর্গ সে.মি. $= 294$ বর্গ সে.মি. (Ans.)
|
NCTB
|
কোনো ঘনকের ধার $3$ মিটার হলে, ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
|
সমাধান: দেওয়া আছে, ঘনকটির ধার, $l = 3$ মিটার। এখন, ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 6l^2$ বর্গ মি. $= 6 \times 3^2$ বর্গ মি. $= 6 \times 9$ বর্গমি. $= 54$ বর্গমি. (Ans.)
|
NCTB
|
কোনো ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $216$ বর্গমি. হলে, ঘনকটির ধার কত?
|
সমাধান: ঘনকের ধার, $l$ সে.মি. সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 6l^2$ বর্গমি. প্রশ্নানুযায়ী, $6l^2 = 216$ বর্গমি. বা, $l^2 = \frac{216}{6}$ বর্গমি. বা, $l^2 = (6)^2$ বর্গমি. $\therefore l=6$ বর্গমি. (Ans.)
|
NCTB
|
একটি ঘনকের ধার $11$ সে.মি. হলে, ঘনকটির আয়তন নির্ণয় কর।
|
সমাধান: ঘনকের ধার $l$ সে.মি. আয়তন $= l^3$ ঘন সে.মি. প্রশ্নানুযায়ী ঘনকের আয়তন $= (11)^3$ ঘন সে.মি. $= 11 \times 11 \times 11$ ঘন সে.মি. $= 1331$ ঘন সে.মি. (Ans.)
|
NCTB
|
একটি ঘনাকৃত বাক্সের ধার $3$ মিটার, বাক্সটির আয়তন কত?
|
সমাধান: দেওয়া আছে বাক্সের ধার, $l=3$ মিটার। $\therefore$ বাক্সের আয়তন $= l^3$ ঘনমিটার $= 3^3$ ঘনমিটার $= 3 \times 3 \times 3$ ঘনমিটার $= 27$ ঘনমিটার (Ans.)
|
NCTB
|
$512$ ঘনমিটার আয়তনের একটি ঘনকের ভিতর কতগুলো $2$ মিটার ধারবিশিষ্ট ছোট ঘনক বসানো যাবে?
|
সমাধান: $2$ মিটার ধার বিশিষ্ট একটি ঘনকের আয়তন $= (2 \times 2 \times 2)$ ঘন মিটার $= 8$ ঘনমিটার। $\therefore$ বড় ঘনকের ভিতর ছোট ঘনক বসানো যাবে $=\frac{512}{8}$ টি $= 64$ টি (Ans.)
|
NCTB
|
একটি গোলকের ব্যাসার্ধ $9$ সে.মি. হলে, গোলকটির ভূমির ক্ষেত্রফল কত?
|
সমাধান: গোলকের ভূমির ব্যাসার্ধ $r$ হলে, ভূমির ক্ষেত্রফল $= \pi r^2$ বর্গএকক। $\therefore$ ভূমির ক্ষেত্রফল $= 3.14 \times (9)^2$ বর্গ সে.মি. $= 3.14 \times 81$ বর্গ সে.মি. $= 254.34$ বর্গ সে.মি. (Ans.)
|
NCTB
|
কোনো সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ $4$ সে.মি. হলে, সিলিন্ডারটির ভূমির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
|
সমাধান: সিলিন্ডারের ভূমির ক্ষেত্রফল $= 2 \times \pi \times r^2$ বর্গএকক। $\therefore$ ভূমির ক্ষেত্রফল $= 2 \times 3.14 \times (4)^2$ বর্গ সে.মি. $= 2 \times 3.14 \times 16$ বর্গ সে.মি. $= 100.48$ বর্গ সে.মি. (Ans.)
|
NCTB
|
$1.5$ মিটার ব্যাসার্ধ ও $3$ মিটার উচ্চতাবিষ্ট কোনো সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
|
সমাধান: সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল $= 2 \times \pi \times \text{ব্যাসার্ধ} \times \text{উচ্চতা}$ বর্গমি. এখানে, ব্যাসার্ধ $= 1.5$ মিটার, উচ্চতা $= 3$ মিটার। $\therefore$ সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল $= (2 \times 3.14 \times 1.5 \times 3)$ বর্গমি. $= 28.26$ বর্গ মি. (Ans.)
|
NCTB
|
$4$ সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট কোনো সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল $16\pi$ বর্গ সে.মি. হলে, ভূমির ব্যাসার্ধ কত?
|
সমাধান: সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল $= 2 \times \pi \times \text{ব্যাসার্ধ} \times \text{উচ্চতা}$ বর্গএকক। এখানে, উচ্চতা, $h = 4$ সে.মি. $\therefore$ ব্যাসার্ধ $= \frac{\text{বক্রতলের ক্ষেত্রফল}}{2 \times \pi \times h}$ সে.মি. $= \frac{16\pi}{2 \times \pi \times 4}$ সে.মি. $= \frac{16}{8}$ সে.মি. $= 2$ সে.মি. (Ans.)
|
NCTB
|
কোনো সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল $219.912$ বর্গ সে.মি. এবং ব্যাসার্ধ $5$ সে.মি. হলে, উচ্চতা কত?
|
সমাধান: সিলিন্ডারের উচ্চতা $h$, ব্যাসার্ধ $r$ হলে, সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল $= 2 \times \pi \times \text{ব্যাসার্ধ} \times \text{উচ্চতা}$। $\therefore$ উচ্চতা, $h = \frac{\text{বক্রতলের ক্ষেত্রফল}}{2 \times \pi \times r}$ সে.মি. $= \frac{219.912}{2 \times 3.14 \times 5}$ সে.মি. $= \frac{219.912}{31.4}$ সে.মি. $= 7$ সে.মি. (প্রায়) (Ans.)
|
NCTB
|
$12$ সে.মি. ব্যাস এবং $12$ সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট কোনো গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
|
সমাধান: দেওয়া আছে, বেলনের উচ্চতা, $h = 12$ সে.মি. বেলনের ব্যাস, $d = 12$ সে.মি. $\therefore$ ব্যাসার্ধ, $r = \frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6$ সে.মি. এখন, বেলনের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 2\pi r (r+h)$ বর্গএকক $= 2 \times 3.14 \times 6(6+12)$ বর্গ সে.মি. $= 2 \times 3.14 \times 6 \times 18$ বর্গ সে.মি. $= 678.24$ বর্গ সে.মি. (প্রায়) (Ans.)
|
NCTB
|
কোনো সিলিন্ডারের উচ্চতা $24$ মি. হলে, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর । সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ তার উচ্চতার $4$ গুণ।
|
দেওয়া আছে, সিলিন্ডারের উচ্চতা, $h = 24$ মি. \ সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, $r = \frac{24}{4} = 6$ মি. \ সিলিন্ডারের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 2\pi r (r + h)$ বর্গ মি. \ $= 2 \times 3.14 \times 6 (6 + 24)$ বর্গ মি. \ $= 2 \times 3.14 \times 6 \times 30$ বর্গ মি. \ $= 1130.4$ বর্গ মি.
|
NCTB
|
একটি সিলিন্ডারের উচ্চতা $8$ সে.মি. এবং ব্যাসার্ধ তার উচ্চতার $5$ গুণ এবং ব্যাসার্ধ $8$ সে.মি. হলে, সিলিন্ডারটির আয়তন কত?
|
দেওয়া আছে, সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, $r = 8$ সে.মি. \ সিলিন্ডারের উচ্চতা, $h = (8 \times 5) = 40$ সে.মি. \ সিলিন্ডারের আয়তন $= \pi r^2 h$ ঘন সে.মি. \ $= 3.14 \times (8)^2 \times 40$ ঘন সে.মি. \ $= 3.14 \times 64 \times 40$ ঘন সে.মি. \ $= 8038.4$ ঘন সে.মি.
|
NCTB
|
একটি সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ $17$ মিটার এবং উচ্চতা $22$ মিটার হলে, সিলিন্ডারটির আয়তন নির্ণয় কর।
|
দেওয়া আছে, সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, $r = 17$ মিটার \ উচ্চতা, $h = 22$ মিটার \ সিলিন্ডারের আয়তন $= \pi r^2 h$ ঘন মিটার \ $= 3.14 \times (17)^2 \times 22$ ঘন মিটার \ $= 3.14 \times 289 \times 22$ ঘন মিটার \ $= 19964.12$ ঘন মিটার
|
NCTB
|
$9$ সে.মি. ব্যাসার্ধ ও $10$ সে.মি. উচ্চতাবিশিষ্ট একটি সিলিন্ডারকে গলিয়ে ছোট $3$ সে.মি. ব্যাসার্ধ ও $5$ সে.মি. উচ্চতাবিশিষ্ট সিলিন্ডার বানা যায়?
|
ছোট সিলিন্ডারের সংখ্যা $= \frac{\text{বড় সিলিন্ডারের আয়তন}}{\text{ছোট সিলিন্ডারের আয়তন}}$ \ $= \frac{\pi \times (9)^2 \times 10}{\pi \times (3)^2 \times 5}$ \ $= \frac{81 \times 10}{9 \times 5}$ \ $= \frac{810}{45}$ \ $= 18$টি
|
NCTB
|
একটি রম্বসের দৈর্ঘ্য $6$ সে.মি. ও $7$ সে.মি. হলে, রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
|
রম্বসের ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times$ কর্ণদ্বয়ের গুণফল \ $= \frac{1}{2} \times 6 \times 7$ বর্গ সে.মি. \ $= 21$ বর্গ সে.মি.
|
NCTB
|
একটি সংখ্যা, $32$ হতে সংখ্যাটির বিয়োগফলের $3$ গুণের সমান হলে, সংখ্যাটি কত?
|
সমাধান: ধরি, সংখ্যাটি $x$
শর্তমতে, $x = 3(32 - x)$
$x = 3.32 - 3x$
$x + 3x = 96$
$4x = 96$
$x = \frac{96}{4}$
$\therefore x = 24$
|
NCTB
|
$x - 5 = 2$ সমীকরণটির উভয় পক্ষকে $4$ যোগ করা হলো, পরিবর্তিত সমীকরণ থেকে $x$ এর মান নির্ণয় কর।
|
সমাধান: $x - 5 = 2$
$x - 5 + 4 = 2 + 4$
$x - 1 = 6$
$x - 1 + 1 = 6 + 1 = 7$ [উভয়পক্ষে $1$ যোগ করে]
$\therefore x = 7$
|
NCTB
|
একটি স্কুলে $345$ জন শিক্ষার্থী আছে। এসেম্বলিতে $58$ জন অনুপস্থিতি করেনি। এসেম্বলিতে দাঁগানো শিক্ষার্থী সংখ্যা কত?
|
সমাধান: ধরি, এসেম্বলিতে দাঁগানো শিক্ষার্থী সংখ্যা $x$ জন
শর্তমতে, $x + 58 = 345$
$x = 345 - 58$
$x = 287$
|
NCTB
|
$6x^2 - 36x - x + 6 = 0$ এই সমীকরণটির মূল কত?
|
সমাধান: $6x^2 - 36x - x + 6 = 0$
$6x(x - 6) - 1(x - 6) = 0$
$(x - 6)(6x - 1) = 0$
|
NCTB
|
$x + \frac{36}{x} - 15 = 0$ সমীকরণটির মূল কত?
|
সমাধান: দেওয়া আছে, $x + \frac{36}{x} - 15 = 0$
$\frac{x^2 + 36 - 15x}{x} = 0$
$x^2 - 15x + 36 = 0$
$x^2 - 12x - 3x + 36 = 0$
$x(x - 12) - 3(x - 12) = 0$
$(x - 12)(x - 3) = 0$
|
NCTB
|
কোন সংখ্যার এক তৃতীয়াংশ থেকে তার এক চতুর্থাংশ বিয়োগ করলে বিয়োগফল $6$ হবে?
|
সমাধান: ধরি, সংখ্যাটি $x$
সূত্রানুসারে, সংখ্যাটির এক তৃতীয়াংশ $= \frac{x}{3}$ এবং সংখ্যাটির এক- চতুর্থাংশ $= \frac{x}{4}$
প্রশ্নমতে, $\frac{x}{3} - \frac{x}{4} = 6$
$\frac{4x - 3x}{12} = 6$ [ল.সা.গু. $3, 4$ এর ল.সা.গু. $12$]
$\frac{x}{12} = 6$
$\frac{x}{12} \times 12 = 6 \times 12$ [উভয়পক্ষকে $12$ দ্বারা গুণ করে]
$\therefore x = 72$
|
NCTB
|
লিগা ও শিখার বয়সের অনুপাত $2 : 3$ । তাদের দু'জনের বয়সের সমষ্টি $30$ বছর হলে, কার বয়স কত?
|
সমাধান: দেওয়া আছে, লিগা ও শিখার বয়সের অনুপাত $2 : 3$
মনে করি, লিগার বয়স $= 2x$ বছর
শিখার বয়স $= 3x$ বছর।
প্রশ্নমতে, $2x + 3x = 30$
$5x = 30$
$\frac{5x}{5} = \frac{30}{5}$ [উভয়পক্ষকে $5$ দ্বারা ভাগ করে]
$\therefore x = 6$
$\therefore$ লিগার বয়স $= 2x = (2 \times 6)$ বা, $12$ বছর
এবং শিখার বয়স $= 3x = (3 \times 6)$ বা, $18$ বছর
|
NCTB
|
প্রশ্ন ১১ মিতু ও প্রিয়ার বয়সের অনুপাত ৩ : ২। তাদের বয়সের সমষ্টি ৩৫ বছর হলে, কার বয়স কত?
|
সমাধান: ধরি, মিতুর বয়স $3x$ বছর এবং প্রিয়ার বয়স $2x$ বছর। তাদের বয়সের সমষ্টি = $(3x + 2x) = 5x$ বছর। প্রশ্নমতে, $5x = 35$ $\therefore x = \frac{35}{5} = 7$। সুতরাং, মিতুর বয়স $= 3 \times 7 = 21$ বছর এবং প্রিয়ার বয়স $= 2 \times 7 = 14$ বছর।
|
NCTB
|
প্রশ্ন ১২ একটি সংখ্যার বর্গ থেকে ঐ সংখ্যাটি বিয়োগ করলে বিয়োগফল সংখ্যাটির ঠিক পূর্ববর্তী সংখ্যার চারগুণের সমান হয়। প্রদত্ত তথ্যের সাহায্যে সমীকরণটি কী হবে?
|
সমাধান: ধরি, সংখ্যাটি $x$ এবং এর পূর্ববর্তী সংখ্যা $(x-1)$। প্রশ্নমতে, $x^2 - x = 4(x - 1)$ বা, $x^2 - x = 4x - 4$ বা, $x^2 - x - 4x + 4 = 0$ [পক্ষান্তর করে] $\therefore x^2 - 5x + 4 = 0$
|
NCTB
|
প্রশ্ন ১৩ একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৪ মিটার কমালে তা একটি বর্গক্ষেত্রে হয়। বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৩৬ বর্গমিটার হলে, প্রদত্ত তথ্যের সাহায্যে একটি সমীকরণ গঠন কর।
|
সমাধান: ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $x$ মিটার। প্রস্থ হবে $(x-4)$ মিটার। বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (এক বাহুর দৈর্ঘ্য)$^2$। $\therefore 36 = (x-4)^2$ বা, $36 = x^2 - 8x + 16$ বা, $x^2 - 8x + 16 - 36 = 0$ $\therefore x^2 - 8x - 20 = 0$
|
NCTB
|
প্রশ্ন ১৪ দুইটি সংখ্যার গুণফল ২০ এবং সমষ্টি ৯। সংখ্যাদ্বয় কী?
|
সমাধান: ধরি, সংখ্যাদ্বয় $x$ এবং $y$। প্রশ্নমতে, $x + y = 9$ .........(i) বা, $y = 9 - x$ আবার, $xy = 20$ বা, $x(9 - x) = 20$ বা, $9x - x^2 = 20$ বা, $x^2 - 9x + 20 = 0$ বা, $x^2 - 5x - 4x + 20 = 0$ বা, $x(x - 5) - 4(x - 5) = 0$ বা, $(x - 5)(x - 4) = 0$ $\therefore x = 4, 5$
|
NCTB
|
প্রশ্ন ১৫ দুইটি ভগ্নাংশের সমষ্টি ৪ এবং অন্তরফল ২। ভগ্নাংশটি নির্ণয় কর।
|
সমাধান: ধরি, অজানা ভগ্নাংশটি $\frac{x}{y}$; $x > y$। প্রশ্নমতে, $x+y=8$ .........(i) $x-y=2$ .........(ii) (i) ও (ii) যোগ করে, $2x = 10$ বা, $x = 5$ (i) হতে (ii) বিয়োগ করে, $2y = 6$ বা, $y = 3$
|
NCTB
|
প্রশ্ন ১৬ $3x - \frac{1}{4x} = 1$ সমীকরণটির আদর্শ আকারে $x$ এর সহগ কত হবে?
|
সমাধান: দেওয়া আছে, $3x - \frac{1}{4x} = 1$ বা, $\frac{12x^2 - 1}{4x} = 1$ বা, $12x^2 - 1 = 4x$ বা, $12x^2 - 4x - 1 = 0$। সমীকরণটি আদর্শ আকারে $ax^2 + bx + c = 0$ এর সাথে তুলনা করে পাই, $a = 12$, $b = -4$, $c = -1$
|
NCTB
|
প্রশ্ন ১৭ $(x - 1)(2x - 4) + x(x - 4) = 0$ সমীকরণটি $ax^2 + bx + c = 0$ আকারে প্রকাশ করলে, $b$ এর মান কত?
|
সমাধান: দেওয়া আছে, $(x - 1)(2x - 4) + x(x - 4) = 0$ বা, $2x^2 - 4x - 2x + 4 + x^2 - 4x = 0$ বা, $2x^2 + x^2 - 4x - 2x - 4x + 4 = 0$ বা, $3x^2 - 10x + 4 = 0$ প্রদত্ত সমীকরণকে $ax^2 + bx + c = 0$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
|
NCTB
|
প্রশ্ন $lacktriangleright$ ২৬ $x$ এর ধনাত্মক মান নির্ণয় কর যা নিচের সমীকরণটি সিদ্ধ করে $x(x+30) = 70 imes 100$।
|
সমাধান: দেওয়া আছে, $x(x+30) - 7000 = 0$ বা, $x^2 + 30x - 7000 = 0$ বা, $x^2 + 100x - 70x - 7000 = 0$ বা, $x(x+100) - 70(x+100) = 0$ বা, $(x+100)(x-70) = 0$ বা, $x = 70, -100$ $ herefore$ ধনাত্মক মান হিসেবে $x$ এর মান $= 70$।
|
NCTB
|
প্রশ্ন $lacktriangleright$ ২৭ একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতা অপেক্ষা 1 মিটার কম এবং ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 6 বর্গমি, হলে, তথ্যগুলো দ্বারা গঠিত সমীকরণ নির্ণয় কর।
|
সমাধান: মনে করি, ত্রিভুজটির ভূমি $x$ মিটার অতএব, ত্রিভুজটির উচ্চতা $x-1$ মিটার $ herefore$ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2}x(x-1) = \frac{1}{2}(x^2 - x)$ বর্গমিটার শর্তমতে, $\frac{1}{2}(x^2 - x) = 6$ বা, $x^2 - x = 12$ $\therefore x^2 - x - 12 = 0$।
|
NCTB
|
প্রশ্ন $lacktriangleright$ ২৮ একটি শ্রেণিতে যতজন শিক্ষার্থী পড়ে প্রত্যেকে তার সহপাঠীর সমান চাঁদা দেওয়ায় মোট 1640 টাকা চাঁদা উঠলো। দ্বিমাত সমীকরণটি গঠন করো।
|
সমাধান: ধরি, শিক্ষার্থী সংখ্যা $x$ জন প্রত্যেকের সহপাঠীর সংখ্যা $(x-1)$ জন $\therefore$ মোট চাঁদার পরিমাণ $x(x-1)$ টাকা শর্তমতে, $x(x-1) = 1640$ বা, $x^2 - x - 1640 = 0$ নির্ণেয় সমীকরণ, $x^2 - x - 1640 = 0$।
|
NCTB
|
প্রশ্ন $lacktriangleright$ ২৯ দুটি অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের অন্তরফল 5 এবং গুণফল 14। অঙ্কদ্বয় বিবেচনা করে সংখ্যাটি নির্ণয় কর।
|
সমাধান: মনে করি, অঙ্কদ্বয় $x$ এবং $y$ সংখ্যাটি $xy$ বা, $yx$ [একক $x$ ও দশক $y$ নির্দেশ করে, $xy$ কোনো গুণফল নির্দেশ করে না] দেওয়া আছে $x - y = 5$ ......(i) এবং $x.y = 14$ বা, $x(x - 5) = 14$ [(i) নং হতে] বা, $x^2 - 5x = 14$ বা, $x^2 - 5x - 14 = 0$ বা, $x^2 - 7x + 2x - 14 = 0$ বা, $x(x - 7) + 2(x - 7) = 0$ বা, $(x - 7)(x + 2) = 0$ হয়, $x - 7 = 0 \therefore x = 7$ অথবা, $x + 2 = 0 \therefore x = -2$ $\therefore x = 7$ হলে, $y = 7 - 5 = 2$ $\therefore$ সংখ্যাটি $= 72$ বা $27$।
|
NCTB
|
প্রশ্ন $lacktriangleright$ ৩০ একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য 1 সেমি হ্রাস করা হলে এর ক্ষেত্রফল 13 বর্গ সেমি হ্রাস পায়। প্রদত্ত তথ্যের আলোকে সমীকরণ গঠন কর।
|
সমাধান: ধরি, বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য $x$ সে.মি. 1 সেমি হ্রাস পেলে বর্গের বাহু হবে $(x-1)$ সেমি. শর্তমতে, $x^2 - (x-1)^2 = 13$ বা, $x^2 - (x^2 - 2x + 1) = 13$ বা, $x^2 - x^2 + 2x - 1 = 13$ বা, $2x - 1 = 13$।
|
NCTB
|
প্রশ্ন $lacktriangleright$ ৩১ একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 96 বর্গমিটা। মেঝের দৈর্ঘ্য 6 মিটার কমানো ও প্রস্থ 2 মিটার বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল একই থাকে। সমীকরণটি গঠন কর।
|
সমাধান: ধরি, মেঝের দৈর্ঘ্য $x$ মিটার এবং মেঝের প্রস্থ $y$ মিটার যখন দৈর্ঘ্য 6 মিটার কমানো হলো পরিবর্তিত দৈর্ঘ্য $x-6$ মিটার এবং প্রস্থ 2 মিটার বৃদ্ধি করা হলে পরিবর্তিত প্রস্থ $y+2$ মিটার। $\therefore$ শর্তানুযায়ী, $xy = 96$ এবং $(x-6)(y+2) = 96$।
|
NCTB
|
একটি ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ এবং উচ্চতা ও ভূমি পরস্পর সমান। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $18$ বর্গ সেমি হলে, ত্রিভুজের ভূমির মান কত?
|
সমাধান: মনে করি, ত্রিভুজের ভূমি $x$ ও উচ্চতা $x$ সেমি.
$ herefore$ ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} x^2$ বর্গ সেমি.
শর্তমতে, $\frac{1}{2} x^2 = 18$ বা, $x^2 = 36 \therefore x = 6$
|
NCTB
|
একটি সমিতিতে $x$ জন সদস্য আছে প্রত্যেককে তার চেয়ে $24$ টাকা বেশি চাঁদা দেওয়ায় মোট $3220$ টাকা হলো। ঐ সমিতির সদস্য সংখ্যা নির্ণয় করো।
|
সমাধান: মনে করি, সমিতির সদস্য সংখ্যা $x$
শর্তমতে, $x(x + 24) = 3220$
বা, $x^2 + 24x - 3220 = 0$
বা, $x^2 + 70x - 46x - 3220 = 0$
বা, $x(x + 70) - 46(x + 70) = 0$
বা, $(x + 70)(x - 46) = 0$
কিন্তু $x + 70 \ne 0 \therefore x \ne -70$
কারণ সদস্য সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।
অথবা, $x - 46 = 0 \therefore x = 46$
|
NCTB
|
তনয়ের কাছে যে পরিমাণ টাকা আছে, মিনের কাছে তার চেয়ে $35$ টাকা বেশি আছে। তাদের টাকার সমষ্টি $285$ টাকা। কার কাছে কত টাকা রয়েছে?
|
সমাধান: ধরি, তনয়ের কাছে আছে $x$ টাকা
$ herefore$ মিনের কাছে আছে $x + 35$ টাকা
শর্তমতে, $x + x + 35 = 285$
বা, $2x = 285 - 35$
বা, $2x = 250 \therefore x = 125$ টাকা
অতএব, তনয়ের কাছে আছে $125$ টাকা ও
মিনের কাছে আছে $= 125 + 35 = 160$ টাকা
|
NCTB
|
$x^2 - 7x + 12 = 0$ সমীকরণটির মূল নির্ণয় কর।
|
সমাধান: দেওয়া আছে, $x^2 - 7x + 12 = 0$
বা, $x^2 - 4x - 3x + 12 = 0$
বা, $x(x - 4) - 3(x - 4) = 0$
বা, $(x - 4)(x - 3) = 0$
হয়, $x - 3 = 0 \therefore x = 3$
অথবা, $x - 4 = 0 \therefore x = 4$
|
NCTB
|
ফারিতার কাছে যে পরিমাণ টাকা আছে, সায়মার কাছে তার চেয়ে $98$ টাকা বেশি আছে। তাদের টাকার সমষ্টি $316$ টাকা। কার কাছে কত টাকা আছে?
|
সমাধান: ধরি, ফারিতার কাছে $x$ টাকা আছে।
$ herefore$ সায়মার কাছে $(x + 98)$ টাকা আছে।
শর্তমতে, $x + (x + 98) = 316$
বা, $2x + 98 = 316$
বা, $2x = 316 - 98$
বা, $2x = 218 \therefore x = 109$
$ herefore$ ফারিতার কাছে $109$ টাকা আছে এবং সায়মার কাছে $(109 + 98) = 207$ টাকা আছে
|
NCTB
|
দুটি অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি $12$ এবং ভাগফল $3$ । দশক স্থানীয় অঙ্কটি বৃহত্তর হলে, সংখ্যাটি নির্ণয় কর।
|
সমাধান: ধরি, সংখ্যাটির দশক ও একক স্থানীয় অঙ্কদ্বয় যথাক্রমে $x$ ও $y$
এবং $x > y$
কাজেই, $x + y = 12$ বা, $y = 12 - x$ ..........(i)
এবং $\frac{x}{y} = 3$ বা, $\frac{x}{12 - x} = 3$
বা, $x = 36 - 3x$
বা, $4x = 36 \therefore x = 9$
(i) হতে, $y = 12 - 9 = 3$
$ herefore$ সংখ্যাটি $= 93$.
|
NCTB
|
রিফাত ও সায়মার বয়সের অনুপাত $4 : 3$ । তাদের বয়সের সমষ্টি $42$ বছর। তাদের মধ্যে কে কত বছরের ছোট?
|
সমাধান: ধরি, রিফাত ও সায়মার বয়স যথাক্রমে $4x$ ও $3x$ বছর।
শর্তমতে, $4x + 3x = 42$
বা, $7x = 42 \therefore x = 6$
$ herefore$ রিফাত বয়স $= 4 \times 6 = 24$ বছর
এবং সায়মার বয়স $= 3 \times 6 = 18$ বছর
অতএব, সায়মা রিফাত চেয়ে $(24 - 18)$ বা, $6$ বছরের ছোট।
|
NCTB
|
$x^2 + 2x - 35 = 0$ সমীকরণটির মূলগুলো নির্ণয় করো।
|
সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ, $x^2 + 2x - 35 = 0$
বা, $x^2 + 7x - 5x - 35 = 0$
বা, $x(x + 7) - 5(x + 7) = 0$
বা, $(x + 7)(x - 5) = 0$
হয়, $x + 7 = 0 \therefore x = -7$
অথবা, $x - 5 = 0 \therefore x = 5$
|
End of preview. Expand
in Data Studio
README.md exists but content is empty.
- Downloads last month
- 4