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【共顶点】同向旋转，构造全等或相似.
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【例 2】. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 \(AOBD\) 的边 \(OB\) 与 \(x\) 轴的正半轴重合，\(AD\parallel OB\)，\(DB\perp x\) 轴，
对角线 \(AB\)，\(OD\) 交于点 \(M\). 已知 \(AD：OB = 2：3\)，\(\triangle AMD\) 的面积为 \(4\). 若反比例函数 \(y = \frac{k}{x}\) 的图象恰好
经过点 \(M\)，则 \(k\) 的值为（ ）
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（2）连接\(AE\)，当\(AE\)的长最小时，求\(CD\)的长．
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典型题训练 3(难度等级$\star$)
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4.若$\begin{cases}2020x + 2021y = 2019,\\2021x + 2020y = 2022,\end{cases}$求$(x + y)^{2}+(x - y)^{3}$的值.
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【结论】分类讨论：
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2. 如图所示, \(\triangle ABC\)为等边三角形, 延长 \(BC\)到点 \(D\), 延长 \(BA\)到点 \(E\),使得 \(AE = BD\), 连接 \(EC、ED\), 求证：\(CE = DE\).
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1. 因为\(\angle DAE = \angle BAC = 90^{\circ}\),所以\(\angle DAB=\angle EAC\).
又因为\(AD = AE\),\(AB = AC\),所以\(\triangle DAB\cong\triangle EAC\),所以\(BD = CE\),所以\textcircled{1}正确.
因为\(\triangle DAB\cong\triangle EAC\),所以\(\angle DBA=\angle ECA\).
又因为\(\triangle ABC\)是等腰直角三角形,
所以\(\angle ACE+\angle ECB = 45^{\circ}\),所以\(\angle ABD+\angle ECB = 45^{\circ}\),所以\textcircled{2}正确.
因为\(\angle ABD+\angle ECB = 45^{\circ}\),\(\angle ABC = 45^{\circ}\),
所以\(\angle ABE+\angle ABC+\angle ECB = 90^{\circ}\),所以\(\angle BEC = 90^{\circ}\),即\(BD\perp CE\),所以\textcircled{3}正确.
因为\(\triangle ABC\)和\(\triangle ADE\)都是等腰直角三角形,所以\(BC = \sqrt{2}AB\),\(DE=\sqrt{2}AD\).
\(2(AD^{2}+AB^{2})=2AD^{2}+2AB^{2}=BC^{2}+DE^{2}=(BE^{2}+CE^{2})+(CD^{2}-CE^{2})=BE^{2}+CD^{2}\).
所以\(BE^{2}=2(AD^{2}+AB^{2})-CD^{2}\),所以\textcircled{4}正确.
所以正确选项为A项.
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1. (1) 如答图 ( a) 所示, 当点 \(C\) 在点 \(B\) 左侧时,\(AD = AB + CD - BC = 10\).
如答图 ( b) 所示, 当点 \(C\) 在点 \(B\) 右侧时,\(AD = AB + BC + CD = 14\).
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370. 解：如图，过点\(C\)作\(BD\)的垂线，交\(BD\)的延长线于
点\(E\)，则\(\angle E = 90^{\circ}\)，\(\because BD\perp AB\)，\(CE\perp BD\)，
\(\therefore AB\parallel CE\)，\(\angle ABD = 90^{\circ}\)，\(\therefore\triangle ABD\backsim\triangle CED\)，
\(\therefore\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{CE}=\frac{BD}{DE}\)，
\(\because AD = \frac{4}{7}AC\)，\(\therefore\frac{AD}{CD}=\frac{4}{3}=\frac{AB}{CE}\)，
\(\therefore\frac{2}{CE}=\frac{4}{3}\)，则\(CE = \frac{3}{2}\)，
\(\because\angle ABC = 150^{\circ}\)，\(\angle ABD = 90^{\circ}\)，\(\therefore\angle CBE = 60^{\circ}\)，
\(\therefore BE=\frac{\sqrt{3}}{3}CE=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\therefore BD = \frac{4}{7}BE=\frac{2\sqrt{3}}{7}\)，
\(\therefore S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}\cdot BD\cdot CE=\frac{1}{2}\times\frac{2\sqrt{3}}{7}\times\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{14}\). 故选：\(A\).
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如图，在矩形\(ABCD\)中，\(E\)，\(F\)分别为边\(AB\)，\(AD\)的中点，\(BF\)与\(EC、ED\)分别交于点
\(M\)，\(N\). 已知\(AB = 4\)，\(BC = 6\)，则\(MN\)的长为 ．
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【变式2-1】. 如图，在\(\text{Rt}\triangle ABC\)中，\(\angle A = 90^{\circ}\)，\(\angle B = 60^{\circ}\)，\(BC = 4\)，若\(E\)是\(BC\)上的动点，\(F\)是\(AC\)上的
动点，则\(AE + EF\)的最小值为 ．
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\(87\)
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（1）若点\(D\)在\(AB\)边上（不与\(A\)，\(B\)重合）请依题意补全图并证明\(AD = BE\)；
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如图，所有的四边形都是正方形，所有的
三角形都是直角三角形，其中\(S_{A}=4\)，\(S_{B}=2\)，\(S_{C}=2\)，
\(S_{D}=1\)，则\(S = (\ \ \ \ \ )\).
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181.【\(☆☆\)】（8下）正方形\(ABCD\)，\(E\)是\(CD\)中点，\(EF\perp CD\)，\(\angle FAC = 30^{\circ}\)，求\(\angle AFC\).
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二、选择题
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两垂一圆
构造直角三角形
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\textcircled{3} 如答图( c) 所示, 当 \(OD\) 平分 \(\angle COA\) 时, \(\angle AOD=\angle COD = 40^{\circ}=360^{\circ}-10^{\circ}t\), 解得
\(t = 32\).
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【简释】【法1】中位线与中垂线\(OG\)，\(\frac{QG}{GN}=\frac{QO}{OC}=\frac{QM}{MP}\)，\(GM\parallel NP\Rightarrow\)仨\(\alpha\)
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\((2)\begin{cases}5x + 3y = 25,\\2x + 7y - 3z = 19,\\3x + 2y - z = 18.\end{cases}\)
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\(\begin{cases}5x + 3y = 25,\end{cases}\)
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14. 如图，矩形\(ABCD\)中，\(AB = 4\)，\(AD = 3\)，点\(E\)在折线\(BCD\)上运动，将\(AE\)绕点\(A\)顺时针旋转得到\(AF\)，
旋转角等于\(\angle BAC\)，连接\(CF\).
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\[
(2)\left\{
\begin{array}{l}
3(x - 1) < 5x + 1\\
\frac{x - 1}{2} \geq 2x - 4
\end{array}
\right.
\]
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\[
\begin{align*}
A.&\ \frac{48}{x + 4}+\frac{48}{x - 4}=9\\
B.&\ \frac{48}{4 + x}+\frac{48}{4 - x}=9\\
C.&\ \frac{48}{x}+4 = 9\\
D.&\ \frac{96}{x + 4}+\frac{96}{x - 4}=9
\end{align*}
\]
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\[
(1)\left\{
\begin{array}{l}
3x - 4y = 10\\
5x + 6y = 4
\end{array}
\right.
\]
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1. 如图所示，\(\triangle ABC\)是等边三角形，点\(D、E\)分别在边\(BC、AC\)上，且\(CD = CE\)，连接\(DE\)并延长至点\(F\)，使\(EF = AE\)，连接\(AF、BE\)和\(CF\). 求证：
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2. (1) 在\(\triangle ABC\)中，因为\(\angle ACB = 90^{\circ}, AC = BC\)，所以\(\angle BAC=\angle ABC = 45^{\circ}\).
所以\(BC = AB\cdot\sin\angle BAC=4\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=4\)，所以\(AC = BC = 4\).
在\(\text{Rt}\triangle BCE\)中，\(CE=\sqrt{BE^{2}-BC^{2}} = 3\)，所以\(AE=AC - CE = 1\).
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【例2】. 如图，在平面直角坐标系中，已知\(A(4,0)\)，\(B(0,3)\)，以\(AB\)为一边在\(\triangle AOB\)外部作等腰直角\(\triangle ABC\). 则点\(C\)的坐标为 .
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由题意可知\(MP = t,BQ = 3t\)，所以\(MQ=BM - 3t,AP=AM - t\).
因为\(MQ = 3AP\)，所以\(BM - 3t=3(AM - t)\)，所以\(BM = 3AM\)，所以\(\frac{AM}{BM}=\frac{1}{3}\).
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(2) 如图\textcircled{2}，若\(E\)是\(AB\)的中点，\(EP\)的延长线交\(BC\)于点\(F\)，求\(BF\)的长.
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371. 解：\(\because\)四边形\(ABCD\)是正方形，\(\therefore\angle BAC = \angle DAC=45^{\circ}\). \(\because\)在\(\triangle APE\)和\(\triangle AME\)中，\(\begin{cases}
\angle PAE=\angle MAE\\
AE = AE\\
\angle AEP=\angle AEM
\end{cases}\)，
\(\therefore\triangle APE\cong\triangle AME\)（\(ASA\)），故\textcircled{1}正确；
\(\therefore PE = EM=\frac{1}{2}PM\)，同理，\(FP = FN=\frac{1}{2}NP\).
\(\because\)正方形\(ABCD\)中\(AC\perp BD\)，又\(\because PE\perp AC\)，\(PF\perp BD\)，
\(\therefore\angle PEO=\angle EOF=\angle PFO = 90^{\circ}\)，且\(\triangle APE\)中\(AE = PE\)
\(\therefore\)四边形\(PEOF\)是矩形. \(\therefore PF = OE\)，\(\therefore PE + PF=OA\)，
又\(\because PE = EM=\frac{1}{2}PM\)，\(FP = FN=\frac{1}{2}NP\)，\(OA=\frac{1}{2}AC\)，
\(\therefore PM + PN=AC\)，故\textcircled{2}正确；
\(\because\)四边形\(PEOF\)是矩形，\(\therefore PE = OF\)，在\(\text{Rt}\triangle OPF\)中，\(OF^{2}+PF^{2}=PO^{2}\)，\(\therefore PE^{2}+PF^{2}=PO^{2}\)，故\textcircled{3}正确.
\(\because\triangle BNF\)是等腰直角三角形，而\(\triangle POF\)不一定是等腰直角三角形，\(\therefore\)两个三角形不一定相似.故\textcircled{4}错误；
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如图，在边长为\(2\)的正方形\(ABCD\)中，\(E\)，\(F\)分别是\(BC\)，\(CD\)上的动点，\(M\)，\(N\)分别是\(EF\)，\(AF\)的中点，则\(MN\)的最大值为 ．
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3. 如图所示，\(\text{Rt}\triangle AOB\)中，\(\angle AOB = 90^{\circ}\)，顶点\(A\)，\(B\)分别在反比例函数\(y=\dfrac{1}{x}(x > 0)\)与\(y = -\dfrac{5}{x}(x < 0)\)
的图象上，则\(\tan\angle BAO\)的值为（ ）
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\(\because AN = ka\)，
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【变式2-2】. 如图，正方形\(ABCD\)的边长为\(4\)，\(\angle DAC\)的平分线交\(DC\)于点\(E\)，若点\(P、Q\)分别是\(AD\)和\(AE\)上的动点，则\(DQ + PQ\)的最小值是 ．
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证明：依题意\(a^{2}+b^{2}=c^{2},S_{1}=a^{2},S_{2}=b^{2},S_{3}=c^{2}\)，
\(\therefore S_{1}+S_{2}=S_{3}\).
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13.甲、乙两同学学习电脑打字，甲打一篇$3000$字的文章与乙打一篇$2400$字的文章所用的时间相同，已知甲每分钟比乙多打$12$个字，问甲、乙两人每分钟各打字多少个？
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3. 解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
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3. 如图所示，$\triangle ABC$是等边三角形，$AB = 1$，$BD = CD$，$\angle BDC = 120^{\circ}$，以点$D$为顶点作$60^{\circ}$的角，交$AB$于点$M$，交$AC$于点$N$，连接$MN$，求$\triangle AMN$的周长.
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如图所示,过点\(A\)作\(AG \perp BC\),交\(EF\)于点\(H\).
因为\(EF\parallel BC\),所以\(\triangle AEF\backsim \triangle ABC\).
又因为\(BC = 12\),\(AG = h = 6\),所以\(\frac{EF}{BC}=\frac{AH}{AG}\),即\(\frac{EF}{12}=\frac{6 - x}{6}\),所以 \(EF = 12 - 2x\).
所以 \(y=\frac{1}{2}EF\cdot x=\frac{1}{2}x(12 - 2x)=-x^{2}+6x=-(x - 3)^{2}+9(0<x<6)\).
所以\(y\)关于\(x\)的函数图像为抛物线的一部分,其开口向下,对称轴为\(x = 3\).
所以正确选项为\(D\)项.
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16. \(A\), \(B\)两地相距\(300km\)，甲、乙两车同时从\(A\)地出发驶向\(B\)地，甲车到达\(B\)地后立即返回．如图是两车离\(A\)地的距离\(y\)（\(km\)）与行驶时间\(x\)（\(h\)）之间的函数图象．
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369. 解：如图，过点\(G\)作\(GT\perp CF\)交\(CF\)的延长线于\(T\)，设\(BH\)交\(CF\)于\(M\)，\(AE\)交\(DF\)于\(N\).
设\(BE = AN = CM = DF = a\)，则\(AE = BM = CF = DN = 2a\)，
\(\therefore EN = EM = MF = FN = a\)，\(\because\)四边形\(ENFM\)是正方形，
\(\therefore\angle EFH=\angle TFG = 45^{\circ}\)，\(\angle NFE=\angle DFG = 45^{\circ}\)，
\(\because GT\perp TF\)，\(DF\perp DG\)，
\(\therefore\angle TGF=\angle TFG=\angle DFG=\angle DGF = 45^{\circ}\)，
\(\therefore TG = FT = DF = DG = a\)，
\(\therefore CT = 3a\)，\(CG=\sqrt{(3a)^{2}+a^{2}}=\sqrt{10}a\)，
\(\because MH\parallel TG\)，
\(\therefore\triangle CMH\backsim\triangle CTG\)，\(\therefore CM\)：\(CT = MH\)：\(TG = 1\)：\(3\)，
\(\therefore MH=\frac{1}{3}a\)，\(\therefore BH = 2a+\frac{1}{3}a=\frac{7}{3}a\)，
\(\therefore\frac{CG}{BH}=\frac{\sqrt{10}a}{\frac{7}{3}a}=\frac{3\sqrt{10}}{7}\)，选：\(C\).
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已知：如图，\(\text{Rt}\triangle ABC\)中，\(\angle ABC = 90^{\circ}\)，\(AB = 4\)，\(BC = 3\)，两直角顶点\(A\)、\(B\)分别在\(x\)轴、\(y\)轴的正半轴上滑动，点\(C\)在第一象限，连接\(OC\)，则\(OC\)长的最大值是 ．
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\(\triangle ADE\)，其中\(\angle DAE = 90^{\circ}\)，\(AD = AE\).
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\textcircled{3} 如答图(f)所示,当\(OC\)停止运动,\(OB\)重新回到\(ED\)上方,即\(27<t<36\)时,\(\angle BOD = 10(t - 27)^{\circ}\),\(\angle COD = 40^{\circ}\).
因为\(OC\)平分\(\angle BOD\),所以\(\angle BOD = 2\angle COD\),所以\(10(t - 27)^{\circ}=80^{\circ}\),解得\(t = 35\).
综上所述,当射线\(OC\)平分\(\angle BOD\)时,\(t = 0.5\)或\(18.5\)或\(35\).
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【变式2-3】. 如图，四边形\(ABCD\)中，\(\angle BAD = 130^{\circ}\)，\(\angle B=\angle D = 90^{\circ}\)，在\(BC、CD\)上分别找一点\(M、N\)，使\(\triangle AMN\)周长最小时，则\(\angle AMN+\angle ANM\)的度数为 ．
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在直角三角形外，以直角三角形的三边向外作正方形，则\(S_{1}+S_{2}=S_{3}\).
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14.某煤矿现在平均每天比原计划多采\(330\)吨煤，已知现在采\(33000\)吨煤所需的时间和原计划采\(23100\)吨煤的时间相同. 问现在平均每天采煤多少吨？
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5. 先化简，再求值：\(3x^{2}y-\left[2x^{2}-(x^{2}y - 3x^{2}y)-4xy^{2}\right]\)，其中\(\vert x\vert = 2\)，\(y = \frac{1}{2}\)，且\(xy<0\).
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典型题训练 79(难度等级★★★★)
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(2) 如图所示,过点\(C\)作\(CM\perp CF\)交\(BD\)于点\(M\),所以\(\angle FCM = 90^{\circ}\).
因为\(\angle ACB = 90^{\circ}\),所以\(\angle FCA=\angle MCB\).
因为\(AF\perp BD\),所以\(\angle AFB = 90^{\circ}\),所以\(\angle AFE=\angle ACB\).
因为\(\angle AEF=\angle BEC\),所以\(\angle CAF=\angle CBM\).
在\(\triangle ACF\)和\(\triangle BCM\)中,因为\(\angle FCA=\angle MCB\),\(AC = BC\),\(\angle CAF=\angle CBM\),所以\(\triangle ACF\cong\triangle BCM\),所以 \(FC = MC\).
又因为\(\angle FCM = 90^{\circ}\),所以\(\angle CFM=\angle CMF = 45^{\circ}\).
所以\(\angle AFC=\angle AFB+\angle CFM = 135^{\circ}\),\(\angle DFC = 180^{\circ}-\angle CFM = 135^{\circ}\),所以\(\angle AFC=\angle DFC\).
在\(\triangle ACF\)和\(\triangle DCF\)中,因为\(AF = DF\),\(\angle AFC=\angle DFC\),\(CF = CF\),所以\(\triangle ACF\cong\triangle DCF\),所以 \(AC = DC\).
因为\(AC = BC\),所以 \(DC = BC\).
第2(2)题答图
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2. (1) \textcircled{1} 如答图(a)所示, 当点 \(P\) 为线段 \(DE\) 上靠近点 \(D\) 的三等分点时, \(DP = \frac{1}{3}DE = 5\mathrm{cm}\).
\textcircled{2} 如答图(b)所示, 当点 \(P\) 为线段 \(DE\) 上靠近点 \(E\) 的三等分点时, \(DP=\frac{2}{3}DE = 10\mathrm{cm}\).
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【变式 2-1】. 如图，在 \(5\times4\) 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 \(A、B\) 均在格点上．在格点
上确定点 \(C\)，使\(\triangle ABC\) 为直角三角形，且面积为 4，则这样的点 \(C\) 的共有（ ）
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（1）在图\textcircled{1}中，画出当点\(D\)从点\(B\)运动到点\(C\)的过程中，点\(E\)的运动轨迹；
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连接 \(OM\)，\(ON\)，\(\because OA\) 垂直平分线段 \(PM\). \(OB\) 垂直平分线段 \(PN\)，\(\therefore OM = OP\)，\(ON = OP\)，\(\therefore OM = OP = ON\)，
\(\therefore\) 点 \(M、O、N\) 三点共圆，
\(\because\angle MPN = 90^{\circ}\)，\(\therefore\angle MON = 180^{\circ}\)，\(\therefore M\)，\(O\)，\(N\) 共线，
故 \textcircled{5}正确． 故选：\(B\)．
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推论：在直角三角形外，以直角三角形的三边向外作等边三
角形，半圆，等腰直角三角形，则 \(S_{1} + S_{2} = S_{3}\).
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285. （2020•金华）三角形折叠 求角度 求线段的长（初二）
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183. 【★★】正方形 \(ABCD\)，\(M、N\) 分别是 \(AB、CD\) 中点，\(P\) 在 \(CB\) 延长线上，\(PM\) 延长线
交 \(AC\) 于 \(Q\)，求证：\(MN\) 平分\(\angle PNQ\).
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11. \(\frac{x}{x - 2}-\frac{1 - x^{2}}{(x - 2)(x - 3)}=\frac{2x}{x - 3}\)
12. \(5+\frac{8x}{x^{2}-16}=\frac{2x - 1}{x + 4}-\frac{3x - 1}{4 - x}\)
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2. 解下列方程组：
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(1) \(\triangle ABE\cong\triangle ACF\);
(2) \(AF = BD\).
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\(+CD)-\left(\frac{1}{2}BC + CD\right)=\frac{1}{2}(AB - CD)=2.\)
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367. 解：\(\because\angle CDB = \angle A = 45^{\circ}\)，\(\therefore\angle ABC=\angle A = 45^{\circ}\)
\(\because\angle BCE=\angle DCB\)，\(\therefore\triangle BCE\sim\triangle DCB\)，
\(\therefore BC^{2}=CE\times CD\)，设 \(DE = x\)，则 \(CE = 2x\)，
\(\therefore(6\sqrt{2})^{2}=2x\times3x\)，
\(\because x > 0\)，\(\therefore x = 2\sqrt{3}\)，\(\therefore CE = 4\sqrt{3}\)，故选：\(D\).
368. 解：设 \(AB = AD = BC = CD = 3a\)，
\(\because\)四边形 \(ABCD\) 是正方形，
\(\therefore\angle DAE=\angle DCF = 45^{\circ}\)，\(\angle DAM=\angle DCN = 90^{\circ}\)，
在\(\triangle DAE\) 和\(\triangle DCF\) 中，\(\begin{cases}DA = DG\\\angle DAE=\angle DCF\\AE = CF\end{cases}\)，
\(\therefore\triangle DAE\cong\triangle DCF\)（\(SAS\)），\(\therefore\angle ADE=\angle CDF\)，
在\(\triangle DAM\) 和\(\triangle DCN\) 中，\(\begin{cases}\angle ADM=\angle CDN\\DA = DC\\\angle DAM=\angle DCN\end{cases}\)，
\(\therefore\triangle DAM\cong\triangle DCN\)（\(ASA\)），\(\therefore AM = CN\)，
\(\because AB = BC\)，\(\therefore BM = BN\)，
\(\because CN\parallel AD\)，\(\therefore\frac{CN}{AD}=\frac{CF}{AF}=\frac{1}{3}\)，
\(\therefore CN = AM = a\)，\(BM = BN = 2a\)，
\(\therefore\frac{S_{\triangle AMD}}{S_{\triangle MBN}}=\frac{\frac{1}{2}\times AD\times AM}{\frac{1}{2}\times BM\times BN}=\frac{3a\times a}{2a\times 2a}=\frac{3}{4}\)，故选：\(A\)
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（2）如图\textcircled{2}，若\(AB = 6\)，点\(F\)为\(AB\)的中点，连接\(EF\)，求\(EF\)的最小值.
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0）并且与 \(x\) 轴垂直于点 \(D\)，请你在直线 \(l\) 上找一点 \(C\)，使\(\triangle ABC\) 为直角三角形，并求出点 \(C\) 的坐标．
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如图，在平面直角坐标系中，直线 \(y = - x\) 与双曲线 \(y = \frac{k}{x}\) 交于 \(A\)，\(B\) 两点，\(P\) 是
以点 \(C(2,2)\) 为圆心，半径长为 \(1\) 的圆上一动点，连接 \(AP\)，\(Q\) 为 \(AP\) 的中点．若
线段 \(OQ\) 长度的最大值为 \(2\)，则 \(k\) 的值为 \_\_\_\_\_．
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考点三、线段差最大值模型
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【法 3】【平行比例】$\frac{\sqrt{3}k + EF}{2\sqrt{3}k}=\frac{\sqrt{2}k}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})k},EF = 3k,\angle CFE = 30^{\circ},\angle AFC = 45^{\circ}$
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三、解方程
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A. 图象具有对称性，对称轴是直线\(x = 1.5\)
B. 有且只有 - \(1\leqslant x\leqslant1\) 时，函数值 \(y\) 随 \(x\) 值的增大而增大
C. 若 \(a<0\)，则 \(8a + c>0\)
D. 若 \(a<0\)，则 \(a + b\geqslant m(am + b)\)（\(m\) 为任意实数）
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(2)$$\frac{2}{3}\times\left(-\sqrt{2\frac{1}{4}}\right)-\sqrt[3]{-3\frac{3}{8}}.$$
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综上所述,当点 \(P\) 是线段 \(AQ\) 的三等分点时,运动时间 \(t = 3\) 或\(\frac{30}{7}\)或 \(10\).
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\(\therefore\triangle APQ\backsim\triangle ABH,\ \therefore\frac{AP}{AB}=\frac{PQ}{BH},\)
\(\therefore\frac{2}{4}=\frac{PQ}{\sqrt{7}},\ \therefore PQ = \frac{\sqrt{7}}{2},\) 故选：\(A\).
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1. (1) \(\angle MON=\angle MOB + \angle BON=\dfrac{1}{2}\angle AOB+\dfrac{1}{2}\angle BOD=\dfrac{1}{2}\angle AOD = 30^{\circ}\).
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219.（2020•泸州）矩形延长类中线求线段的值 中点模型（初三）
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A. \(25\) B. \(20\) C. \(9\) D. \(5\)
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【变式 2-2】. 如图，在平面直角坐标系\(xOy\)中，点\(A\)，\(B\)的坐标分别为\(A(0,2)\)，\(B(8,8)\)，点\(C(m,0)\)为\(x\)轴正半轴上一个动点.
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四、列方程解应用题
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(1)\(-3^{2}+1\div4\times\frac{1}{4}-\left|-1\frac{1}{4}\right|\times(-0.5)^{2};\)
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2. 设 \(BC = x,BD = y.\)
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(2) 由题意可知 \(PD = \frac{1}{2}AD,QC=\frac{1}{2}BC,\) 所以 \(PQ = PD - QD=\frac{1}{2}AD-(QC + CD)=\frac{1}{2}(AB + BC\)
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【变 3-1】. 我们定义一种新函数：形如 \(y = |ax^{2}+bx + c|\)（\(a\neq0\)，\(b^{2}-4ac>0\)）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数 \(y = |ax^{2}+bx + c|\)的图象（如图所示），下列结论正确的是（ ）
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218.（2021•深圳模拟）动点构造三角形中位线求最值 中点模型（初三）
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\(\therefore\triangle EFM\cong\triangle POA\ (\text{ASA}),\ \therefore EM = AP = x\).
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模型 23 “勾股树”模型
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【法 2】【369$\triangle ACG$】正$\triangle OGC$，$\angle AFO = 15^{\circ}=\angle GOF$，$GF = GO = GC$，$\angle AFC = 45^{\circ}$
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\[(1)\begin{cases}9x + 5<8x + 7,\\\frac{4}{3}x + 2>1-\frac{2}{3}x;\end{cases}\]
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（3）当点 \(C\) 在运动时，是否存在点 \(C\) 使\(\triangle ABC\) 为直角三角形，如果存在，请求出这个三角形的面积；如果不存在，请说明理由．
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(2) \textcircled{1} 当点 \(P、Q\) 重合时,\(AP + PB=AB\),所以 \(t + 2t = 15\),解得 \(t = 5\).
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220.（2020•翔安区模拟）梯子滑动型最值问题 取斜边上的中线（初二）
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【法 2】\(N、M\) 对称，【美人鱼】\(\triangle NAM\sim\triangle NEA\)【AA】\(EM = k\)，\(AE = 5k=BC + CE\)
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ii. 在点 \(P、Q\) 重合后,\(AQ = 5 + 2(t - 5)=(2t - 5)\text{cm}\),\(AP = t\text{ cm}\).
当 \(AP=\dfrac{1}{3}AQ\) 时,\(t=\dfrac{2t - 5}{3}\),解得 \(t = - 5\)( 不符合题意,舍去).
当 \(AP=\dfrac{2}{3}AQ\) 时,\(t=\dfrac{2(2t - 5)}{3}\),解得 \(t = 10\).
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217.（2023•广西）动点构造三角形中位线求最值 中点模型（初二）
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（1）当点\(E\)在\(BC\)上时，作\(FM\perp AC\)，垂足为\(M\)，求证：\(AM = AB\)；
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【法 1】【\(15^{\circ}\)模型】\(15^{\circ}\text{Rt}\triangle\)，斜边中垂线出“\(369\triangle\)”
中垂线 \(FEH\)，\(\angle AFH = 15^{\circ}\)，作\(\angle AGH = 30^{\circ}\)，\(GF = GA = 2AH = 2k\)，\(HG=\sqrt{3}k\)
\(HF = HG + GF=\sqrt{3}k + 2k\)，\(EF = HF - HE=\sqrt{3}k\)，\(\angle CFE = 30^{\circ}\)，\(\angle AFC = 45^{\circ}\)
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【变 3-2】. 已知抛物线 \(y = ax^{2}+c\) 过点 \(A（ - 2，0）\) 和 \(D（ - 1，3）\) 两点，交 \(x\) 轴于另一点 \(B\).
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【变 2-1】. 如图，抛物线 \(y = ax^{2}+bx - 1\)（\(a\neq0\)）交 \(x\) 轴于 \(A\)，\(B\)（\(1\)，\(0\)）两点，交 \(y\) 轴于点 \(C\)，一次函数 \(y\)
\(=x + 3\) 的图象交坐标轴于 \(A\)，\(D\) 两点，\(E\) 为直线 \(AD\) 上一点，作 \(EF\perp x\) 轴，交抛物线于点 \(F\)
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考点三：二次函数背景下的矩形存在性问题
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$\because \overline {CF}=\frac {}{2}$
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